Relevé horizontal

En géométrie différentielle, il existe plusieurs notions différentes mais intimement reliées de relevé horizontal.

Généralement, il s'agit de relever une entité géométrique depuis la base d'un fibré principal à une entité géométrique sur le fibré principal.

Pour ce faire, il faut que le fibré principal en jeu soit muni d'une distribution horizontale ou encore, de manière équivalente, d'une 1-forme de connexion.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$, une 1-forme de connexion sur $P$ ;
• $H=\ker(A)$, la distribution horizontale.

Définition (relevé horizontal d'un vecteur)

Un relevé horizontal d'un vecteur tangent $v\in TB$ est un vecteur ${\tilde {v}}\in TP$ tel que :

$\pi _{*}({\tilde {v}})=v$

$A({\tilde {v}})=0$

• Remarque : le vecteur tangent ${\tilde {v}}$ est horizontal en ce sens qu'il repose en la distribution horizontale $H$

Définition (relevé horizontal d'un champ vectoriel)

Le relevé horizontal d'un champ vectoriel $X\in {\mathfrak {X}}(B)$ est le champ vectoriel ${\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}(P)$ tel que :

$\pi _{*}({\tilde {X}})=X$

$A({\tilde {X}})=0$

• Remarque : le champ vectoriel ${\tilde {X}}$ est horizontal en ce sens qu'il repose partout en la distribution horizontale $H$

Définition (relevé horizontal d'un chemin différentiable)

Un relevé horizontal d'une courbe différentiable $\gamma :[0,1]\to B$ est une courbe ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ telle que pour tout $t\in [0,1]$ on ait:

$\pi \circ {\tilde {\gamma }}(t)=\gamma (t)$

$A|_{{\tilde {\gamma }}(t)}({\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0$.

• Remarque : la courbe ${\tilde {\gamma }}$ est horizontale en ce sens qu'elle est partout tangente à la distribution horizontale $H$.

Définition (relevé horizontal d'une sous-variété)

Soit $M\subset B$ une sous-variété.

Supposons que la 2-forme de courbure $F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)$ meurt sur $M$.

Alors, $M$ se relève à une sous-variété horizontale en $P$.

Bibliographie

• (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963