Régression non paramétrique

La régression non paramétrique est une forme d'analyse de la régression dans lequel le prédicteur, ou fonction d'estimation, ne prend pas de forme prédéterminée, mais est construit selon les informations provenant des données. La régression non paramétrique exige des tailles d'échantillons plus importantes que celles de la régression basée sur des modèles paramétriques parce que les données doivent fournir la structure du modèle ainsi que les estimations du modèle.

Principe général modifier

On dispose de données numériques que l'on suppose corrélées. Une des grandeurs, notée  , est appelée variable expliquée. Les autres sont regroupées dans une variable dite explicative   qui est un vecteur :

 .

On dispose de   situations (  jeux de valeurs) formant un nuage de points :

 .

La régression consiste à trouver une fonction, appelée prédicteur

 
 

telle que le résidu

 

soit le « plus petit possible » ; on estime alors que le prédicteur   « décrit bien » les données. On peut ainsi écrire

 

ou encore

 

Dans le cas de la régression paramétrique, on part d'un prédicteur   dont la forme générale est connue. C'est une fonction qui s'exprime par un jeu de paramètre   avec  . Le cas le plus simple est celui de la régression linéaire :

 ,

et l'on cherche à minimiser le résidu quadratique  

Dans le cas de la régression non paramétrique, on ne part pas d'une forme de fonction connue. Le cas le plus simple est celui du lissage d'une courbe : à partir du nuage de points initial, on détermine un nouveau nuage de point présentant des variations moins abruptes (dérivable).

Méthodes de régression non paramétrique modifier

Modèle de régression additif modifier

Le modèle additif consiste à simplifier la recherche du prédicteur en considérant que c'est la somme de   fonctions d'une seule variable :

 

où les fonctions   sont des fonctions « lisses » (dérivables). Chaque fonction   est estimée à partir des données.

Il existe des variations autour de ce concept :

  • modèle semi-paramétrique : certaines fonctions   sont linéaires,   ;
  • modèle avec interactions : on introduit dans la somme des fonctions de deux variables  .

Régression locale modifier

La régression locale consiste à faire de la régression par parties : on découpe l'espace des variables explicatives en zones, et l'on fait une régression sur chaque zone. La régression au sein d'une zone peut être elle-même paramétrique, la méthode est toutefois tout de même considérée comme non paramétrique. On fait ainsi fréquemment de la régression locale polynomiale ou de la régression locale par spline.

Le prédicteur n'est pas toujours continu, ni a fortiori dérivable ; il n'est que continu par morceaux (et dérivable par morceaux).

Estimation par noyau modifier

La méthode de l'estimation par noyau consiste à considérer un noyau, c'est-à-dire une fonction   symétrique et semi-définie positive (typiquement linéaire, polynomial ou gaussien). Le prédicteur est alors de la forme :

 

où les   sont des points donnés de l'espace des variables explicatives. Ainsi, contrairement à la régression locale, chaque fonction   s'étend sur la totalité de l'espace, mais est centrée sur un point   donné. Il n'y a donc pas de problème de continuité.

Estimation par projection modifier

On suppose pour simplifier que l'on n'a qu'une variable explicative  , et que   et   sont dans [0 ; 1]. On considère une base orthonormée   de l'espace des fonctions de carré sommable dans [0 ; 1]. On considère une sous-famille finie  .

La projection orthogonale d'une fonction quelconque   sur   est

 

dans le cas du prédicteur  , on a l'approximation

 

et le prédicteur est donc défini par :

 .

On peut par exemple utiliser une base de Fourier ou bien des ondelettes.

Notes et références modifier

Bibliographie modifier

  • Emmanuel Flachaire et Ibrahim Ahamada, Économétrie non paramétrique, Paris, Economica, coll. « Corpus Économie », , 1re éd., 152 p. (ISBN 978-2-7178-5614-9)
  • (en) John Fox et Sanford Weisberg, « Nonparametric Regression in R (web appendix) », dans An R Companion to Applied Regression, Sage, , 2e éd. (ISBN 978-1412975148, lire en ligne [PDF])

Voir aussi modifier

Liens externes modifier