Quantification semi-classique
En physique, la quantification semi-classique est une procédure simplifiée permettant de quantifier — dans le cadre de la théorie des quanta — un système physique à partir de ses ingrédients classiques, notamment ses trajectoires. Michael Berry utilise à ce propos la formulation imagée : « mettre de la chair quantique sur un squelette classique ». Cette procédure simplifiée, qui n'utilise pas l'appareil mathématique complet de la mécanique quantique, est supposée valide dans le régime semi-classique.
La plus ancienne de ces procédures, concernant la quantification de l'atome d'hydrogène, est due à Bohr (1913), donnant lieu au célèbre « modèle de Bohr » à orbites circulaires. Cette procédure fut étendue par Sommerfeld afin d'inclure les orbites elliptiques.
Quantification EBK d'un système intégrable modifier
En 1917, Einstein généralisa à tout système intégrable conservatif la procédure de Bohr-Sommerfeld. La méthode générale d'Einstein fut précisée par Brillouin, puis Keller, donnant lieu à la quantification EBK (en).
Pour un système intégrable conservatif à N degrés de liberté, il existe en effet N variables d'action qui sont toutes des constantes du mouvement. Ainsi, la dynamique classique d'un système intégrable est elle restreinte à un tore invariant à N dimensions dans l'espace des phases, caractérisé par la valeurs des N actions.
La quantification EBK consiste à n'autoriser que des actions multiples entier (à une constante près) du quantum d'action ; si est un contour fermé sur le tore invariant, on pose :
Les entiers positifs sont des indices de Maslov.
Quantification d'un système non intégrable modifier
La méthode EBK ne s'applique que pour de systèmes intégrables. Lorsque le système n'est pas intégrable, a fortiori lorsque le système est chaotique, une procédure de quantification semi-classique de l'énergie du système est fournie par la formule des traces de Gutzwiller.
Voir aussi modifier
Article connexe modifier
Bibliographie modifier
Vulgarisation modifier
(en) Lorenzo J. Curtis et David G. Ellis, « Use of the Einstein–Brillouin–Keller action quantization », American Journal of Physics, vol. 72, no 12, 2004, p. 1521-1523 [lire en ligne].
Ouvrages de référence modifier
- (en) Martin C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1990 (ISBN 0-387-97173-4).
- V. P. Maslov (de), Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques, Dunod, 1972.
Articles historiques modifier
- (de) Albert Einstein, « Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein », Verh. Deutsch. Phys. Ges., vol. 19, 1917, p. 82-92. Reproduit dans : The Collected Papers of Albert Einstein, vol. 6, A. Engel (trad.), Princeton University Press, 1997, p. 434.
- (en) Joseph B. Keller, « Corrected Bohr-Sommerfeld Quantum Conditions for Nonseparable Systems », Ann. Phys., vol. 4, no 2, , p. 180-188 (lire en ligne).
- (en) Joseph B. Keller et S. I. Rubinow, « Asymptotic Solution of Eigenvalue Problems », Ann. Phys., vol. 9, no 1, , p. 24-75 (DOI 10.1016/0003-4916(60)90061-0).
- (en) Martin C. Gutzwiller, « Periodic orbits and classical quantization condition », J. Math. Phys., vol. 12, , p. 343.