Processus de Kiefer

Le processus de Kiefer est un mouvement brownien $(K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}$ à deux paramètres introduit par le mathématicien américain Jack Kiefer afin de voir le processus empirique comme un processus gaussien à deux paramètres. En particulier, en fixant le paramètre $x$ le processus de Kiefer est un pont brownien et en fixant le paramètre $t$ il devient un mouvement brownien.

Définition et propriétés

Soit $W(t,x)$ un processus de Wiener (ou mouvement brownien) à deux paramètres. Un processus de Kiefer $(K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}$ est défini par

$K(t,x)=W(t,x)-tW(1,x).$

Le processus de Kiefer vérifie les propriétés suivantes :

• Si on fixe le paramètre $t$, le processus de Kiefer est un mouvement brownien. Formellement,
  $\forall 0<t_{0}<1,W(x)={\frac {K(t_{0},x)}{\sqrt {t_{0}(1-t_{0})}}},x\geq 0$
  est un mouvement brownien ;
• Si on fixe le paramètre $x$, le processus de Kiefer est un pont brownien. Formellement,
  $\forall x_{0}>0,P(t)={\frac {K(t,x_{0})}{\sqrt {x_{0}}}},0\leq t\leq 1$
  est un pont brownien. ;
• $P_{n}(t)=K(t,n)-K(t,n-1),0\leq t\leq 1,n\in \mathbb {N} ^{*}$ est une suite de ponts browniens indépendants ;
• $\mathbb {E} [K(t,x)]=0$ et la fonction de covariance de $K(t,x)$ est donnée par
  $\mathbb {E} [K(t_{1},x_{1})K(t_{2},x_{2})]=(t_{1}\wedge t_{2}-t_{1}t_{2})(x_{1}\wedge x_{2}).$

Approximation forte du processus empirique

Jack Kiefer fut le premier mathématicien à considérer le processus empirique $\alpha _{n}(t)$ comme un processus à deux paramètres et que celui-ci devait par conséquent être approché par un processus gaussien bidimensionnel. Il prouve notamment que si $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur $[0,1]$, il existe un processus de Kiefer $(K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}$ vérifiant presque-sûrement

$\sup _{t\in [0,1]}|{\sqrt {n}}\alpha _{n}(t)-K(t,n)|=O(n^{1/3}(\log n)^{2/3}).$

Les mathématiciens Komlós, Tusnády et Major approchent fortement le processus empirique uniforme avec le processus de Kiefer avec une meilleure borne. Précisément, si $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur $[0,1]$ alors il existe un processus de Kiefer $(K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}$ tel que pour tout $x,n$, presque-sûrement

$\mathbb {P} \left(\max _{1\leq k\leq n}\sup _{t\in [0,1]}|k^{1/2}\alpha _{k}(t)-K(t,k)|>(C\log n+x)\log n\right)<Le^{-\lambda x}$

où $C,\lambda ,L$ sont des constantes universelles positives. Ce qui entraîne d'après le lemme de Borel-Cantelli : presque-sûrement,

$\sup _{0\leq t\leq 1}|n^{1/2}\alpha _{n}(t)-K(t,n)|=O(\log ^{2}n).$