Problème de partition

En informatique théorique, le problème de partition est le problème de décision qui, étant donné un multiensemble S d'entiers naturels, détermine s'il existe une partition de S en deux sous-ensembles S₁ and S₂ tels que la somme des éléments de S₁ soit égale à la somme des éléments de S₂.

On ne connait pas d'algorithme en temps polynomial permettant de trouver une solution exacte rapidement dans tous les cas, c'est un problème NP-complet.

Énoncé mathématique

Une définition formelle du problème de décision est la suivante: Étant donné un multiensemble $S$ de n nombres entiers positifs. On cherche deux sous-multiensembles $S_{1}$ et $S_{2}$ de telle sorte que $S_{1}\uplus S_{2}=S$ et $E=0$. On définit $E$ comme ceci :

$E=\left|\sum _{x\in S_{1}}x-\sum _{y\in S_{2}}y\right|$

Si $E$ est nul, alors la somme des éléments de $S_{1}$ est égale à la somme des éléments de $S_{2}$ et une solution au problème existe pour $S$.

Par exemple, on peut partitionner le multiensemble {3,1,1,2,2,1} en {1,1,1,2} et {2,3}, puisque la somme de leurs éléments est égale (1 + 1 + 1 + 2 = 5 ainsi que 2 + 3 = 5). Pour le multiensemble {7,3,1,7}, il n'est pas possible de trouver deux sous-multiensembles qui respectent la contrainte.

NP-complétude

Pour prouver que le problème de partition appartient à la classe des problèmes NP-complets, il faut montrer que ce problème est dans NP et qu'il est NP-difficile.

Appartenance à NP

Un problème est dit NP (Polynomial sur une machine Non-déterministe) s'il est possible de vérifier une solution de ce problème efficacement, c'est-à-dire en temps polynomial par rapport à la taille de l'entrée.

Dans le cas de la partition, il existe un algorithme simple qui vérifie si une entrée donnée répond correctement ou pas au problème de partition.

 fonction verifie_partition(ens1, ens2)
    tailleEns1 = taille(ens1) - 1
    tailleEns2 = taille(ens2) - 1

    cptEns1 = 0
    cptEns2 = 0

    pour i = 0 à tailleEns1
        cptEns1 = cptEns1 + ens1[i]

    pour j = 0 à tailleEns2
        cptEns2 = cptEns2 + ens2[j]

    si cptEns1 == cptEns2
        retourne vrai
    sinon
        retourne faux

Cet algorithme donne une réponse en temps linéaire par rapport à la taille des deux ensembles donnés en entrée.

Résolution approchée

Algorithme glouton

Pour le problème de partition, l'idée de l'algorithme glouton est de trier les nombres par ordre décroissant puis de l'ajouter un par un dans l'ensemble « le plus petit », c'est-à-dire l'ensemble dont la somme de ses éléments est minimale.

 fonction partition(liste_entiers)
    S1 = []
    S2 = []
    tailleListe = taille(liste_entiers) - 1

    tri_decroissant(liste_entiers)

    pour i = 0 à tailleListe
        si somme_elements(S1) < somme_elements(S2)
            S1.ajouter(liste_entiers[i])
        sinon
            S2.ajouter(liste_entiers[i])

    retourne (S1, S2)

Algorithme de Karmarkar-Karp

Un autre moyen de trouver les deux sous-ensembles a été étudié par Karmarkar et Karp en 1982. L'algorithme prend les deux plus grands nombres de l'ensemble $S$ de départ et les remplace par leur différence. L'opération est répétée jusqu'à ce qu'un seul nombre reste dans l'ensemble $S$. Le remplacement de deux nombres revient à décider que les deux nombres sont mis dans deux sous-ensembles différents, sans déterminer tout de suite quel nombre est mis dans tel ou tel sous-ensemble.

Une fois cet algorithme terminé, il est possible de retrouver les deux ensembles $S_{1}$ et $S_{2}$ grâce au retour sur trace.

Annexes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Partition problem » (voir la liste des auteurs).

• (nl) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en néerlandais intitulé « Partitieprobleem » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

Cette bibliographie présente quelques ouvrages de référence. Ceux qui ont été utilisés pour la rédaction de l'article sont indiqués par le symbole .

• (en) Narenda Karmarkar et Richard M Karp, « The Differencing Method of Set Partitioning », Technical Report UCB/CSD 82/113, Université de Californie à Berkeley, Computer Science Division (EECS),‎ 1982 (lire en ligne, consulté le 9 juillet 2016)