Problème de la chèvre

En mathématiques récréatives, le problème de la chèvre est le nom donné à divers problèmes concernant la superficie qu'une chèvre attachée à un pieu peut brouter en liaison avec la longueur de sa corde, dans diverses situations. On présente ici deux variantes classiques, ayant la particularité rare en mathématiques récréatives d'obliger à résoudre des équations non algébriques, la première demandant de surcroit un calcul d'aire non élémentaire. On trouvera dans les références suivantes de nombreuses autres variantes.

Première variante : chèvre attachée à une tour

Énoncé

Une chèvre est attachée à une tour circulaire (ou un silo) de rayon R située dans un champ. Sachant que sa corde est de longueur L, quelle superficie d'herbe pourra-t-elle brouter ?

Réponse

Si L est inférieure ou égale à $\pi R$, la superficie atteignable vaut $\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{3R}}\right)L^{2}$.

Pour $L>\pi R$, il faut retrancher à cette valeur $R^{2}\left({\frac {\tan ^{3}u}{3}}-{\alpha }\right)$, où $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$ , $u\in ]0,\pi /2[$.

Pour une longueur de corde égale à la circonférence de la tour, on trouve par exemple $S\approx 117,6R^{2}$. Cela donne une surface de broutage égale à 76 256 yards carrés pour le problème historique ci-après.

Historique

Ce problème a été publié dans l'édition de 1748 de la revue annuelle anglaise The Ladies' Diary, sous la question CCCIII attribuée à un certain Upnorensis :

Un cheval se trouvant dans un parc, avec l'extrémité d'une corde attachée à son pied avant, et l'autre extrémité à une clôture circulaire métallique entourant un étang de circonférence 160 yards, égale à la longueur de la corde, quelle superficie au plus le cheval peut-il brouter?

Démonstration dans le cas $L/R\leqslant \pi$

L'aire balayée par la corde est formée d'un demi-disque de rayon L et de deux fois l'aire balayée par le segment tangent au cercle dont l'extrémité décrit la développante de cercle d'équation

$x=R\cos t+Rt\sin t,y=R\sin t-Rt\cos t$, pour t allant de 0 à L/R.

D'après le théorème de Mamikon, cette aire est la même que si la corde était attachée à un point fixe, autrement dit, l'aire balayée par le vecteur

$(Rt\sin t,-Rt\cos t)$.

À un changement de repère près, cette aire est celle décrite par le rayon vecteur de la spirale d'Archimède d'équation polaire $\rho =R\theta$, pour $\theta$ allant de allant de 0 à L/R. En utilisant la formule de l'aire en polaires $S=1/2\int \rho ^{2}d\theta$, on trouve $S=R/6(L/R)^{3}={\frac {L^{3}}{6R}}$.

D'où l'aire balayée totale : ${\frac {\pi L^{2}}{2}}+{\frac {L^{3}}{3R}}$.

Démonstration dans le cas $L/R>\pi$

En utilisant les notations de la figure ci-contre, l'aire de la zone 1 vaut $\pi L^{2}/2$, et celle de la zone 2+3+4 vaut toujours $L^{3}/(6R)$ , or il faut retirer maintenant la zone 4.

On trouve (voir plus loin) que la zone 4+5 vaut $R^{2}(\tan ^{3}u)/6$ où u est solution de $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$, ($\alpha =\pi /2$ sur la figure).

La zone 5 vaut évidemment $\alpha R^{2}/2$.

Donc l'aire de broutage est égale à $S=\pi {\frac {L^{2}}{2}}+{\frac {L^{3}}{3R}}-2R^{2}\left({\frac {\tan ^{3}u}{6}}-{\alpha \over 2}\right)$ où $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$.

Démonstration du calcul de l'aire de la zone 4+5

Il s'agit de l'aire balayée par le rayon vecteur du point de départ de la développante à un angle $\alpha$.

Or en coordonnées polaires, celle-ci a pour paramétrisation $\rho =R/\cos u,\theta =\tan u-u$

L'aire est donc égale à $1/2\int \rho ^{2}d\theta$, qui s'intègre en $R^{2}(\tan ^{3}u)/6$, d'où le résultat.

Deuxième variante : chèvre pouvant brouter la moitié du pré

Énoncé

Un chèvre étant attachée à un pieu situé à la circonférence d'un pré circulaire de rayon R, quelle doit être la longueur L de sa corde pour qu'elle n'ait accès qu'à la moitié de la surface du pré?

Réponse

$L=2\cos {\frac {u}{2}}.R\approx 1,15873.R$ où $u$ est solution de $\sin u-u\cos u=\pi /2$ .

Les décimales de $k=L/R$ sont données par la suite A133731 de l'OEIS, et celles de $u$ par la suite A173201 de l'OEIS.

Historique

Le problème a été publié sans habillage animalier en 1894 dans la première édition de la célèbre revue American Mathematical Monthly. Attribué à Charles E. Myers, il a été rédigé comme suit :

Un cercle renfermant un acre est coupé par un autre dont le centre est sur la circonférence du cercle donné, et l'aire commune aux deux est d'un demi-acre. Trouver le rayon du cercle de coupe.

Démonstration trigonométrique

Avec les notations de la figure, l'angle AOC, noté x, est Le double de l'angle ABC, d'après le théorème de l'angle inscrit ; ce dernier vaut donc x/2, et l'angle OAC vaut $y=(\pi -x)/2$. L'aire du secteur de cercle ADC vaut donc $(\pi -x)L^{2}/4$ ; comme $L=2R\sin(x/2)$, cette aire vaut $(\pi -x)\sin ^{2}(x/2)R^{2}$.

L'aire du segment de disque bleu est égale à l'aire du secteur OAC moins celle du triangle OAC, soit $(x-\sin x)R^{2}/2$.

L'aire de broutage égale à la moitié de celle du pré s'exprime donc par la relation $2(\pi -x)\sin ^{2}(x/2)R^{2}+(x-\sin x)R^{2}=\pi R^{2}/2$, laquelle se simplifie en :

$\sin x-(x-\pi )\cos x=\pi /2$, avec $L=2R\sin(x/2)$.

Posant $u=\pi -x$, on obtient bien :

$\sin u-u\cos u=\pi /2$, avec $L=2R\cos(u/2)$.

Utilisation de la formule de l'aire d'une lentille

L'aire d'une lentille intersection de deux disques s'exprime en fonction des rayons R et r et de la distance d entre les centres par la formule :

$S=r^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta$

avec

$\Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}$

On est ici dans le cas $r=L,d=R$, et exprimer que $S=\pi R^{2}/2$ donne l'équation :

${\frac {\pi }{2}}=k^{2}\arccos {\frac {k}{2}}+\arccos \left(1-{\frac {k^{2}}{2}}\right)-{\frac {k}{2}}{\sqrt {4-k^{2}}}$ où $k=L/R$.

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Goat Problem », sur MathWorld, présentant les deux variantes
• (en) [vidéo] Numberphile, The Goat Problem sur YouTube.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Goat problem » (voir la liste des auteurs).