Principe de Harnack

En analyse complexe, le principe de Harnack est un théorème concernant la convergence de fonctions harmoniques.

Si les fonctions $u_{1}(z)$, $u_{2}(z)$, ... sont harmoniques sur un ouvert connexe $G$ du plan complexe C, et

$u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq ...$

en tout point $z$ de $G$, alors la limite

$\lim _{n\to \infty }u_{n}(z)$

est soit infinie en chaque point du domaine de définition $G$, soit finie en chaque point de ce domaine. Dans les deux cas, la convergence est uniforme sur chaque sous-ensemble compact de $G$. Dans le second cas, la fonction

$u(z)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(z)$

est harmonique sur $G$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harnack's principle » (voir la liste des auteurs).
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 222