Point de Schiffler

En géométrie, le point de Schiffler d'un triangle est un centre de triangle, un point défini à partir du triangle qui est équivariant sous les transformations euclidiennes du triangle. Ce point a été défini et étudié pour la première fois par Schiffler et al. (1985). Il porte le nombre de Kimberling X₂₁.

Triangle ABC

Les bissectrices, qui se croisent en I

Médianes des triangles intérieurs IAB, IBC, ICA

Médiatrices des segments de bissectrices [IA], [IB], [IC]

Droites d'Euler des triangles intérieurs, qui secroisent au point de Schiffler Sp

Définition

Le point de Schiffer d'un triangle ABC de centre inscrit I est le point de concurrence des droites d'Euler des quatre triangles BCI, CAI, ABI et ABC. Le théorème de Schiffler stipule que ces quatre lignes se rejoignent toutes en un seul point.

Coordonnées

Les coordonnées trilinéaires du point de Schiffler sont

$\left[{\frac {1}{\cos B+\cos C}},{\frac {1}{\cos C+\cos A}},{\frac {1}{\cos A+\cos B}}\right]$

ou encore,

$\left[{\frac {b+c-a}{b+c}},{\frac {c+a-b}{c+a}},{\frac {a+b-c}{a+b}}\right]$

où a, b et c désignent les longueurs des côtés du triangle ABC, et A, B, C désignent les mesures d'angle aux sommets.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schiffer point » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Schiffler Point », sur MathWorld
• Emelyanov, Lev et Emelyanova, Tatiana, « A note on the Schiffler point », Forum Geometricorum, vol. 3,‎ 2003, p. 113–116 (MR 2004116, lire en ligne)
• Hatzipolakis, Antreas P., van Lamoen, Floor, Wolk, Barry et Yiu, Paul, « Concurrency of four Euler lines », Forum Geometricorum, vol. 1,‎ 2001, p. 59–68 (MR 1891516, lire en ligne)
• Nguyen, Khoa Lu, « On the complement of the Schiffler point », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 149–164 (MR 2195745, lire en ligne)
• Schiffler, Kurt, « Problem 1018 », Crux Mathematicorum, vol. 11,‎ 1985, p. 51 (lire en ligne)
• Veldkamp, G. R. et van der Spek, W. A., « Solution to Problem 1018 », Crux Mathematicorum, vol. 12,‎ 1986, p. 150–152 (lire en ligne)
• Thas, Charles, « On the Schiffler center », Forum Geometricorum, vol. 4,‎ 2004, p. 85–95 (MR 2081772, lire en ligne)