Théorème de Kosnita
Dans la géométrie moderne du triangle, le théorème de Kosnita est une propriété de certains cercles associés à un triangle quelconque.
Soit un triangle, le centre de son cercle circonscrit et les centres des cercles circonscrits des triangles , et respectivement. Le théorème affirme que les trois droites , et sont concourantes. Ce résultat a été établi par le mathématicien roumain Cezar Coşniţă (ro) (1910-1962)[1], mais aurait été d'abord remarqué par Joseph Neuberg dans son Mémoire sur le tétraèdre en 1884[2],[3].
Ce point de concurrence est depuis appelé point de Kosnita du triangle, nom donné par John Rigby, et le triangle appelé triangle de Kosnita. Le nombre de Kimberling du point de Kosnita est [4].
Propriétés modifier
- Le point de Kosnita est le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler[5],[6]. Ses coordonnées trilinéaires sont done les inverses de celle du centre du cercle d'Euler, soit :
- On note KA, l'image du point de Kosnita par la symétrie d'axe (BC), et on construit de façon cyclique KB et KC. Ensuite, on construit KA', l'image du point de Kosnita par symétrie de centre le milieu de [KBKC], puis de même KB' et KC'. Alors (AKA') est perpendiculaire à (BC), (BKB') est perpendiculaire à (CA), et (CKC') est perpendiculaire à (AB). On en déduit que les triangles ABC et KA'KB'KC' sont homologues par rapport à l'orthocentre du triangle de référence.
- Tout triangle et son triangle de Kosnita sont orthologiques.
Extensions modifier
Ce théorème est un cas particulier d'un théorème de Thanh Oai Dao sur six centres circonscrits associé à un hexagone inscriptible (dont les six sommets sont cocycliques[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13]).
Références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kosnita's theorem » (voir la liste des auteurs).
- (ro) Ion Pătraşcu, « A generalization of Kosnita's theorem » [PDF],
- Jean-Louis Aymé, « Le point de Cézar Kosnitza » [archive] [PDF]
- Joseph Neuberg, Mémoire sur le tétraèdre, Bruxelles, Hayez, (lire en ligne)
- (en) Clark Kimberling, « X(54) = Kosnita Point », sur Encyclopedia of Triangle Centers,
- (en) Darij Grinberg, « On the Kosnita Point and the Reflection Triangle », Forum Geometricorum, vol. 3, , p. 105–111 (ISSN 1534-1178, lire en ligne [PDF])
- (en) John Rigby, « Brief notes on some forgotten geometrical theorems », Mathematics and Informatics Quarterly, vol. 7, , p. 156-158.
- (en) Nikolaos Dergiades, « Dao's Theorem on Six Circumcenters associated with a Cyclic Hexagon », Forum Geometricorum, vol. 14, , p. 243–246 (ISSN 1534-1178, lire en ligne).
- (en) Telv Cohl, « A purely synthetic proof of Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon », Forum Geometricorum, vol. 14, , p. 261–264 (ISSN 1534-1178, lire en ligne).
- (en) Ngo Quang Duong, « Some problems around the Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon configuration », International Journal of Computer Discovered Mathematics, vol. 1, , p. 25-39 (ISSN 2367-7775, lire en ligne)
- (en) Clark Kimberling, « X(3649) = KS(INTOUCH TRIANGLE) »,
- (en) Nguyễn Minh Hà, « Another Purely Synthetic Proof of Dao's Theorem on Sixcircumcenters », Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 6, , p. 37–44 (ISSN 2284-5569, lire en ligne)
- (en) Nguyễn Tiến Dũng, « A Simple proof of Dao's Theorem on Sixcircumcenters », Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 6, , p. 58–61 (ISSN 2284-5569, lire en ligne)
- (en) Nguyen Ngoc Giang, « The extension from a circle to a conic having center: The creative method of new theorems », International Journal of Computer Discovered Mathematics, , p. 21-32 (lire en ligne).
Voir aussi modifier
Liens externes modifier
- (en) Eric W. Weisstein, « Kosnita Theorem », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Kosnita Point », sur MathWorld
