P-matrice

En mathématiques, une P-matrice ou matrice P est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont strictement positifs. Certains auteurs qualifient ces matrices de totalement strictement positives.

Les P-matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire.

Une notion voisine est celle de P₀-matrice.

Notations

On note

• $[\![1,n]\!]:=\{1,\ldots ,n\}$ l'ensemble des $n$ premiers entiers,
• $u\cdot v$ le produit de Hadamard de deux vecteurs $u$ et $v$, qui est défini par $(u\cdot v)_{i}=u_{i}v_{i},$ pour tout indice $i$,
• $M_{IJ}$ la sous-matrice de $M$ formée de ses éléments avec indices de ligne dans $I$ et indices de colonne dans $J$.

Définitions

La notion de P-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes.

P-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une P-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

1. tous les mineurs principaux de $M$ sont strictement positifs : pour tout $I\subset \{1,\ldots ,n\}$ non vide, $\det M_{II}>0,$
2. pour tout vecteur $x\in \mathbb {R} ^{n}$ non nul il existe une matrice diagonale $D_{x}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ à coefficients positifs tel que $x\cdot (D_{x}Mx)>0$,
3. pour tout $I\subset \{1,\ldots ,n\}$ non vide, les valeurs propres réelles de $M_{II}$ sont strictement positives.

On note $\mathbf {P}$ l'ensemble des P-matrices d'ordre quelconque. On appelle P-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à $\mathbf {P} .$

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966). L'équivalence entre les définitions 1 et 2 est due à Fiedler et Pták (1962).

Propriétés immédiates

De la définition 1, on déduit que

• $M\in \mathbf {P}$ si, et seulement si, $M^{\top \!}\in \mathbf {P}$,
• si $M$ est symétrique, alors $M\in \mathbf {P}$ si, et seulement si, $M$ est définie positive,
• $\mathbf {P} \cap \mathbb {R} ^{n\times n}$ est un ouvert de $\mathbb {R} ^{n\times n}$.

De la définition 2, on déduit que

• si $M+M^{\!\top \!}$ est définie positive, alors $M\in \mathbf {P} .$

Autres propriétés

Complémentarité linéaire

Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\geqslant 0,$ tel que $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top \!}(Mx+q)=0.$ Dans cette définition, $M\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $q\in \mathbb {R} ^{n},$ $x^{\!\top \!}$ est le transposé de $x$ et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit

${\mbox{CL}}(M,q)\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$

Existence et unicité de solution

L'importance des P-matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire vient du résultat d'existence et d'unicité suivant.

P-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $M\in \mathbf {P}$,
• pour tout vecteur $q\in \mathbb {R} ^{n}$, le problème de complémentarité linéaire ${\mbox{CL}}(M,q)$ a une et une seule solution.

Dès lors, si $M\notin \mathbf {P}$, il existe un vecteur $q\in \mathbb {R} ^{n}$ tel que l'une des deux situations exclusives suivantes a lieu :

• soit ${\mbox{CL}}(M,q)$ n'a pas de solution,
• soit ${\mbox{CL}}(M,q)$ a plus d'une solution.

On ne peut cependant pas affirmer que, pour une matrice $M\notin \mathbf {P}$, même symétrique et non dégénérée, il existe un vecteur $q$ tel que la première des deux situations ci-dessus ait lieu. Ainsi

$M={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$

n'est pas une P-matrice, mais le problème ${\mbox{CL}}(M,q)$ a une solution quel que soit $q.$

Caractérisation algorithmique

La complémentarité linéaire offre une autre caractérisation des P-matrices, en termes d'une propriété d'un algorithme de résolution de ces problèmes, l'algorithme de Newton-min. Celui-ci est bien défini lorsque la matrice $M$ est non dégénérée. Pour une telle matrice et un vecteur $q$ donnés, on peut associer à un ensemble d'indices $I\subset [\![1,n]\!]$, un nœud noté $x^{(I)}$ qui est l'unique solution $x$ du système linéaire

$x_{I^{c}}=0\qquad {\mbox{et}}\qquad (Mx+q)_{I}=0.$

On a noté $I^{c}:=[\![1,n]\!]\setminus I$ le complémentaire de $I$ dans $[\![1,n]\!]$. Brièvement, l'algorithme de Newton-min est celui de Newton semi-lisse pour résoudre l'équation linéaire par morceaux

$\min(x,Mx+q)=0,$

qui est équivalente au problème ${\mbox{CL}}(M,q)$. Dans la version qui importe dans le résultat ci-dessous, l'algorithme de Newton-min détermine d'abord, au point courant $x\in \mathbb {R} ^{n}$, l'ensemble d'indices

$I=\{i\in [\![1,n]\!]:x_{i}>(Mx+q)_{i}\}$

et calcule ensuite l'itéré suivant $x^{+}=x^{(I)}$. On a la caractérisation suivante]).

P-matrice et algorithme de Newton-min — Pour une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ non dégénérée, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $M\in \mathbf {P}$,
• quel que soit $q$, l'algorithme de Newton-min décrit ci-dessus ne cycle pas entre deux nœuds lorsqu'il est utilisé pour résoudre ${\mbox{CL}}(M,q)$.

Résolution en temps polynomial ?

On ne connait pas d'algorithme permettant de résoudre le problème ${\mbox{CL}}(M,q)$ en temps polynomial lorsque $M\in \mathbf {P}$, mais certains ont proposé des arguments en faveur de cette possibilité.

Vérifier la P-matricité

Vérifier qu'une matrice donnée dans $\mathbb {Q} ^{n\times n}$ est une P-matrice est un problème co-NP-complet.

Une manière évidente de vérifier la P-matricité d'une matrice $M$ donnée est de calculer ses $2^{n}-1$ mineurs principaux (test des mineurs principaux), ce qui requiert $O(n^{3}\,2^{n})$ opérations. Rump (2003) a montré que, quel que soit $I\subset [\![1,n]\!]$ non vide, on peut trouver une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ telle que $\det M_{II}<0$ et $\det M_{JJ}>0$ pour tout $J\subset [\![1,n]\!]$ non vide et différent de $I$, si bien que le test des mineurs principaux ne peut négliger aucun mineur.

Tsatsomeros et Li (2000) ont proposé un test, fondé sur le complément de Schur, qui réduit le nombre d'opérations à $7\,2^{n}$. Le test requiert toujours ce nombre exponentiel d'opérations si la matrice est une P-matrice, mais peut en demander beaucoup moins si $M\notin \mathbf {P}$, car un seul mineur négatif suffit pour montrer cette non-appartenance.

Rump (2003) a proposé le premier test qui ne demande pas nécessairement un nombre exponentiel d'opérations pour vérifier la P-matricité.

Exemples

1. Une matrice de Cauchy $C\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une matrice réelle carrée dont l'élément $(i,j)$ est donné par

$\displaystyle C_{ij}={\frac {1}{a_{i}+b_{j}}},$

où $a_{i}+b_{j}\neq 0$. Une matrice de Cauchy est une P-matrice si $a_{1}+b_{1}>0$ et si les suites $\{a_{i}\}$ et $\{b_{j}\}$ sont strictement croissantes. En particulier, une matrice de Hilbert est une P-matrice (c'est une matrice de Cauchy avec $a_{i}=b_{i}=i-1/2$ pour tout $i\in [\![1,n]\!]$).

1. Considérons la matrice circulante $M\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $n\geqslant 2,$ définie par
   $M={\begin{pmatrix}1&&&\alpha \\\alpha &~~~\ddots ~~~&&\\&~~~\ddots ~~~&1&\\&&\alpha &1\end{pmatrix}}$
   ou de manière plus précise par $M_{ij}=1$ si $i=j$, $M_{ij}=\alpha$ si $i=(j\mod n)+1$ et $M_{ij}=0$ sinon. Alors
   • si $n$ est pair, alors $M\in \mathbf {P}$ si, et seulement si, $|\alpha |<1$,
   • si $n$ est impair, alors $M\in \mathbf {P}$ si, et seulement si, $\alpha >-1$.
2. Considérons la matrice circulante $M\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $n\geqslant 3,$ définie par
   $M={\begin{pmatrix}1&&&\beta ~~~&\alpha \\\alpha &~~~\ddots ~~~&&&\beta \\\beta &~~~\ddots ~~~&1~~~&\\&~~~\ddots ~~~&\alpha ~~~&1~~~\\&&\beta ~~~&\alpha ~~~&1\end{pmatrix}}$
   ou de manière plus précise par
   $M_{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{si}}~i=j\\\alpha &{\mbox{si}}~i=(j\mod n)+1\\\beta &{\mbox{si}}~i=((j+1)\mod n)+1\\0&{\mbox{sinon}}.\end{array}}\right.$
   Alors $M\in \mathbf {P}$ si $|\alpha |-1<\beta <|\alpha |/4$ ou si $\alpha ^{2}+8(\beta -{\textstyle {\frac {1}{2}}})^{2}<2$.

Annexes

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• P0-matrice

Bibliographie

• (en) A. Berman et N. Shaked-Monderer, Completely Positive Matrices, River Edge, NJ, USA, World Scientific, 2003.
• (en) R. W. Cottle et J.-S. Pang, R. E. Stone, The linear complementarity problem, Philadelphia, PA, USA, SIAM, coll. « Classics in Applied Mathematics 60 », 2009.
• (en) R. A. Horn et Ch. R. Jonhson, Topics in Matrix Analysis, New York, NY, USA, Cambridge University Press, 1991.
• (en) S. M. Rump, « On P-matrices », Linear Algebra and its Applications, vol. 363,‎ 2003, p. 237–250.