La méthode de Gauss construit une baseorthogonale pour une forme quadratique donnée sur un espace vectorielréel de dimension finie. Le théorème montre l'existence d'une base orthogonale en même temps pour deux formes quadratiques dont l'une est issue d'un produit scalaire.
Orthogonalisation simultanée dans le cas euclidienmodifier
Théorème — Soit E un espace euclidien. Si q est une forme quadratique sur E, alors il existe une base orthonormée pour le produit scalaire et orthogonale pour q.
Comme f est homogène de degré 0, e réalise aussi un maximum de f sur l'ouvert E\{0}.
Si ϕ est la forme polaire associée à q, on a :
La différentielle de q en e est alors la partie linéaire du terme de droite :
Comme e est un extremum pour f, la différentielle de f en e est nécessairement nulle, soit
ou
donc pour tout , entraîne .
On achève la preuve par récurrence sur la dimension de l'espace E. En dimension 1, c'est évident. Supposons la propriété vraie en dimension n – 1. La droite dirigée par e est supplémentaire de son orthogonal :
car le produit scalaire est une forme symétrique définie positive. L'hypothèse de récurrence donne une base de orthonormée pour le produit scalaire, orthogonale pour ϕ. Par construction :
