Opérateur de Hutchinson

En mathématiques, dans l'étude des fractales, un opérateur d' Hutchinson est défini à partir d'un ensemble de contractions, appelé système de fonctions itérées.

Définition

Soit $\{f_{i}:X\to X\ |\ 1\leq i\leq N\}$ un ensemble de contractions d'un espace métrique complet $X$ dans lui-même. L'opérateur $H$ est défini sur des sous-ensembles compacts $S\subset X$ comme

$H(S)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).\,$

itération d'un opérateur d'Hutchinson à partir d'un carré S₀.

Une question clé est de décrire les attracteurs $A=H(A)$ de cet opérateur, qui sont des ensembles compacts. Un moyen de génération d'un tel ensemble est de commencer avec un premier ensemble compact $S_{0}\subset X$ (qui peut être un point tout simplement) et d'itérer $H$ comme suit :

$S_{n+1}=H(S_{n})=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})$

et en prenant la limite, l'itération converge vers l'attracteur

$A=\lim _{n\to \infty }S_{n}.$

Propriétés

Hutchinson a montré en 1981, l'existence et l'unicité de l'attracteur $A$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hutchinson operator » (voir la liste des auteurs).