Nombre pentagonal

nombre polygonal

En mathématiques, un nombre pentagonal est un nombre figuré qui compte des points régulièrement répartis dans un pentagone.

Représentation des quatre premiers nombres pentagonaux : la représentation du n-ième s'obtient en entourant la précédente d'un pentagone comportant 3n – 2 nouveaux points.
Les quatre premiers nombres pentagonaux sont
1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12 et 12 + 10 = 22.

Pour tout entier ≥ 1, d'après les formules générales pour les nombres polygonaux, à l'étape où il y a points dans chaque côté du pentagone, le nombre pentagonal est la somme des premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3[1] :

soit le tiers du (3 – 1)-ième nombre triangulaire.

Les dix premiers sont 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145 (suite A000326 de l'OEIS).

Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des partitions d'entiers d'Euler et interviennent par exemple dans son théorème des nombres pentagonaux.

Obtention de ces nombres modifier

Pour avoir   points sur chaque côté du pentagone extérieur, on ajoute à l'étape   :   points aux sommets du pentagone et   points à l'intérieur des côtés, d'où  .

 
 

Donc  

Autre construction modifier

De la formule générale  , découle que   est la somme du nombre carré d'ordre   :   et du nombre triangulaire d'ordre   :   .

Propriétés modifier

  •   est congru à   modulo 3.
  •  .
  •  
 
Preuve sans mot des deux propriétés   et  [2],[3].

Test des nombres pentagonaux modifier

Un réel positif x est un nombre pentagonal si et seulement si l'équation du second degré 3n2n – 2x possède une solution entière   > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :

 

Lorsque   est entier, x est le  -ième nombre pentagonal.

Nombres pentagonaux généralisés modifier

Les nombres pentagonaux généralisés sont les nombres de la forme n(3n – 1)/2, mais avec n entier relatif, ou encore : les nombres de la forme n(3n ± 1)/2 avec n entier naturel. Les vingt premiers termes de cette suite d'entiers sont 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126 et 145 (suite A001318 de l'OEIS).

Notes et références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pentagonal number » (voir la liste des auteurs).
  1. Jean Itard, Arithmétique et théorie des nombres, Paris, PUF, , 128 p. (ISBN 978-2130324300), p. 8.
  2. Roger B. Nelsen, Preuves sans mots, Hermann, , p. 214
  3. ACL, Preuves en images, t. 1, Les Éditions du Kangourou, (présentation en ligne), p. 14

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