Nombre hexagonal

En mathématiques, un nombre hexagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un hexagone. Le nombre hexagonal d'ordre $n$ est donné par la formule  :

Les quatre premiers nombres hexagonaux sont1, 1 + 5 = 6, 6 + 9 = 15 et 15 + 13 = 28.

$H_{n}=P_{6,n}=n(2n-1)=P_{3,2n-1}$.

Ainsi, les nombres hexagonaux sont simplement les nombres triangulaires d'indice impair.

Les vingt-deux premiers sont 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861 et 946 (suite A000384 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres

Représentation des quatre premiers nombres hexagonaux : celui d'indice n s'obtient en entourant le précédent d'un hexagone comportant 4n – 3 nouveaux points.

Pour avoir $n$ points sur chaque côté de l'hexagone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $6-1$ points aux sommets de l'hexagone et $(6-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $H_{n}-H_{n-1}=5+4(n-2)=4(n-1)+1$.

Donc $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}(4(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(4k+1)=2n(n-1)+n=n(2n-1)$.

Autre construction

Nombre hexagonal comme somme d'un nombre carré et de deux triangulaires :$H_{5}=C_{5}+2T_{4}=25+2\times 10=45$

De la formule générale $P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}$, découle par exemple que $H_{n}$ est la somme du nombre carré d'ordre $n$ : $C_{n}=P_{2,n}$ et de deux nombres triangulaires d'ordre $n$ : $H_{n}=C_{n}+2T_{n-1}=n^{2}+n(n-1)$  ; voir la figure de gauche, inscrivant cette construction dans un hexagone non régulier.

La figure de droite montre un hexagone, également non régulier, tracé dans un réseau carré, ce qui donne, pour l'étape $n$ où il y a $n$ points dans chaque côté : un rectangle de $n(2n-1)$ points et deux triangles de $1+3+\cdots +2n-3=(n-1)^{2}$ points, soit $n(2n-1)+2(n-1)^{2}=4n^{2}-5n+2$ points, voir la suite A033951 de l'OEIS.

Propriétés

• $H_{n}$ est la somme du nombre triangulaire d'ordre $n$ et de trois nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $H_{n}=T_{n}+3T_{n-1}$.

• $H_{n}=n+4T_{n-1}=n+2n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 4 et a donc même parité que lui.

• Réduite modulo 9, la suite des nombres hexagonaux suit périodiquement le motif des neuf valeurs suivantes : 1, 6, 6, 1, 0, 3, 1, 3, 0.

• Tout entier n > 130 peut être exprimé comme somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; Adrien-Marie Legendre l'avait démontré en 1830 pour n > 1791 (voir la suite A007527 de l'OEIS).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hexagonal number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Nombre polygonal
• Nombre hexagonal centré