Nœud bordant

Un nœud bordant est un type de nœud mathématique.

Exemples

6₁

8₂₀

9₄₁

10₇₅

10₁₂₃

Nœud de ruban

Définitions

En théorie des nœuds, un nœud est un cercle inclus dans la 3-sphère :

$S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}$

Cette 3-sphère peut être considérée comme le contour de la boule de rayon 1 et de dimension 4 :

$B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.$

Un nœud $K\subset S^{3}$ est dit bordant s'il délimite un disque D, de dimension 2, « bien intégré » dans la 4-boule $B^{4}$. Ce que l'on entend par « bien intégré » dépend du contexte : il existe différents termes pour différents types de nœuds bordants. Si le disque D est plongé dans la 4-boule via une fonction lisse, alors K est à bord régulier. Si D n'est plongé que de façon localement plate dans la 4-boule, (ce qui est une hypothèse plus faible), alors K est un nœud topologiquement bordant.

Exemples

La liste suivante est la liste de tous les nœuds bordants comprenant 10 intersections ou moins; cette liste a été créée en utilisant The Knot Atlas :

$6_{1}$, $8_{8}$, $8_{9}$, $8_{20}$, $9_{27}$, $9_{41}$, $9_{46}$, $10_{3}$, $10_{22}$, $10_{35}$, $10_{42}$, $10_{48}$, $10_{75}$, $10_{87}$, $10_{99}$, $10_{123}$, $10_{129}$, $10_{137}$, $10_{140}$, $10_{153}$ et $10_{155}$.

Propriétés

Chaque nœud de ruban (en) est à bord régulier. Ralph Fox se demandait si chaque nœud à bord régulier était un nœud de ruban.

La signature (en) d'un nœud bordant est nulle. Le polynôme d'Alexander d'un nœud bordant est le produit :

$f(t)f(t^{-1})$

où $f$ est un polynôme à coefficients entiers. C'est ce qu'on nomme la condition Fox–Milnor.

Bibliographie

• W.B.Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Springer Science & Business Media, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 175), 1997, x+204 (ISBN 9780387982540).

Voir également

• Genre de bord (en)
• Lien de bord (en)