Quadrupôle électrostatique

En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Quadrupôle électrique.

Analyse du quadrupôle

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Soit une distribution   de charges   aux points  . Cette distribution   à support compact crée à une grande distance des charges (pour  , avec   longueur caractéristique de la distribution) un potentiel  .

On définit :

  •  
  •   la somme des charges
  •  , indépendant de   si  , nul si   est choisi barycentre des charges
  •  , le moment d'inertie par rapport à  
  •  , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à  
  •  , l'opérateur linéaire quadrupolaire en  

On peut vérifier que   est de trace nulle :  .

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante   du tenseur quadrupolaire est

 , où   est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire

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Théorème :

 , avec  

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Cas particulier : axe de symétrie

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Lorsque   possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et   est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe  , alors la matrice des moments est   et  .

Si   n'est pas nul, on choisit   en  , et alors :

 , avec   (3e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas,   ; l'usage est de poser  .

Le potentiel terrestre est ainsi  .

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en   (octupolaire),  , etc.).

Articles connexes

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