Matrice de Jacobi

Les matrices de Jacobi sont des matrices symétriques tridiagonales, éventuellement infinies. Leur nom vient du mathématicien allemand Carl Gustav Jakob Jacobi.

Matrice de taille finie

Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme

$J=\left[{\begin{array}{ccccc}b_{0}&a_{0}&&&\\a_{0}&b_{1}&a_{1}&&\\&a_{1}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &a_{n-1}\\&&&a_{n-1}&b_{n}\end{array}}\right],$

avec $a_{n}\neq 0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .$

On montre que $\lambda$ est une valeur propre de la matrice $J$ si et seulement si

$\lambda -b_{0}-{\cfrac {a_{0}^{2}}{\lambda -b_{1}-{\cfrac {a_{1}^{2}}{\lambda -b_{2}-\cdots {\cfrac {a_{n-1}^{2}}{\lambda -b_{n}}}}}}}=0.$

Si l'on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle, le numérateur sera le polynôme caractéristique $\chi _{n+1}(\lambda )$ de la matrice $J$.

Dimension infinie

Considérons deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$, toujours avec $a_{n}\neq 0$ et $b_{n}\in \mathbb {R}$. L'opérateur de Jacobi $J$ associé est défini sur un espace de suites $(u_{n})$ par

$(Ju)_{0}=b_{0}u_{0}+a_{0}u_{1},\quad (Ju)_{n}=a_{n-1}u_{n-1}+b_{n}u_{n}+a_{n}u_{n+1},\quad n>0.$

Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie des polynômes orthogonaux. En effet, si l'on note $P(x)=(P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),...)$ avec $P_{0}(x)=1$ la solution de

$JP(x)=xP(x)$,

alors $P_{n}(x)$ est un polynôme de degré $n$. Ces polynômes vérifient la relation de récurrence d'ordre 2 :

$a_{n-1}P_{n-1}(x)+b_{n}P_{n}(x)+a_{n}P_{n+1}(x)=xP_{n}(x)$

pour tout $n\geq 0$, si l'on pose $P_{-1}(x)=0$ et $P_{0}(x)=1$. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une certaine mesure.

Par exemple, avec $(a_{n})=(-1,-2,-3,...,-n,...)$ et $(b_{n})=(1,3,5,...,2n+1,...)$, les polynômes $P_{n}(x)$ sont les polynômes de Laguerre.

Avec $(a_{n})=(1/2,1/2,1/2,...)$ et $(b_{n})=(0,0,0,...)$, les polynômes $P_{n}(x)$ sont les polynômes de Tchebychev de seconde espèce.

Notes et références

• (en) D.A. Suprunenko, « Jacobi matrix », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Voir aussi

• Jean Dieudonné, « Fractions continuées et polynômes orthogonaux », dans E.N. Laguerre, Polynômes orthogonaux et applications, Springer, 1985 (lire en ligne), p. 1-15