Métrique de Poincaré

tenseur métrique

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la métrique de Poincaré, due à Henri Poincaré, est le tenseur métrique décrivant une surface de courbure négative constante. C'est la métrique naturelle utilisée pour des calculs en géométrie hyperbolique ou sur des surfaces de Riemann.

Deux représentations équivalentes sont le plus souvent utilisées en géométrie hyperbolique à deux dimensions : le demi-plan de Poincaré, modèle munissant d'une métrique hyperbolique le demi-plan (complexe) supérieur, et le disque de Poincaré, modèle défini sur le disque unité (le disque et le demi-plan sont isométriques par une transformation conforme, et leurs isométries sont données par des transformations de Mobius). Par ailleurs, le disque épointé, muni d'une métrique hyperbolique induite par la fonction exponentielle sur le demi-plan, est un exemple d'ouvert non simplement connexe (une couronne en l'occurrence) portant une métrique hyperbolique.

Métriques sur une surface de Riemann modifier

Une métrique sur le plan complexe peut généralement s'exprimer sous la forme :

 

où λ est une fonction réelle positive de   et  . La longueur de la courbe γ dans le plan complexe (pour cette métrique) est alors donné par : 

L'aire d'un sous-ensemble du plan complexe (suffisamment régulier) est donnée par :

 ,

  est le produit extérieur (définissant en général la forme volume). Le déterminant de la métrique est égal à  , sa racine carrée est donc  . L'aire élémentaire déterminée par la métrique est   et donc

 

Une fonction   est dite potentiel métrique si

 

L'opérateur de Laplace-Beltrami est donné par :

 

La courbure gaussienne de la métrique est donnée par

 

Cette courbure est la moitié de la courbure scalaire de Ricci.

Les isométries conservent les angles et les longueurs d'arcs. Sur une surface de Riemann, les isométries sont équivalentes à un changement de coordonnées ; ainsi, l'opérateur de Laplace-Beltrami et les courbures sont tous invariants par isométrie. Ainsi, par exemple, si S est une surface de Riemann de métrique   et T est une surface de Riemann de métrique  , alors la transformation :

 

avec   est une isométrie si et seulement si elle est conforme et si

 .

Ici, demander que la transformation soit conforme revient à exiger :

 

c'est-à-dire,

 

Métrique et aire élémentaire dans le plan de Poincaré modifier

Le tenseur métrique de Poincaré dans le demi-plan de Poincaré, demi-plan supérieur   correspondant aux complexes de partie imaginaire positive, est donné par

 

en posant   Ce tenseur métrique est invariant sous l'action de SL(2,R). Autrement dit, notant

 

avec  , il s'avère que

 

et

 

Les éléments infinitésimaux se transforment ainsi :

 

et donc

 

ce qui montre l'invariance du tenseur métrique sous l'action du groupe SL(2,R). L'élément d'aire invariant est donné par

 

La métrique est

 
 

pour  . Une autre forme intéressante de la métrique fait intervenir le birapport. Étant donnés quatre points  ,  ,   et   sur la sphère de Riemann   (le plan complexe auquel on ajoute un point à l'infini), le birapport de ces points est défini par

 

La métrique peut alors s'écrire

 

Ici,   et   sont les extrémités (sur l'axe des réels) de la géodésique reliant   et  , numérotés de telle sorte que   soit situé entre   et  .

Les géodésiques pour cette métrique sont les arcs de cercles perpendiculaires à l'axe des réels, c'est-à-dire des demi-cercles centrés sur cet axe, et les demi-droites perpendiculaires à cet axe.

Application conforme du demi-plan vers le disque modifier

Le demi-plan supérieur est en bijection conforme avec le disque unité par l'intermédiaire de la transformation de Möbius

 

w est le point du disque unité correspondant au point z du demi-plan. La constante z0 peut être n'importe quel point du demi-plan, qui sera envoyé sur le centre du disque. L'axe des réels   a pour image le cercle unité   (à l'exception du point 1, image du point à l'infini). La constante réelle   correspond à une rotation du disque.

L'application canonique

 

(voir l'article Transformation de Cayley) envoie i sur l'origine (le centre du disque), et 0 sur le point -i.

Métrique et aire élémentaire dans le disque de Poincaré modifier

Le tenseur métrique de Poincaré dans le disque de Poincaré est donné sur le disque unité ouvert   par

 

L'élément d'aire est donné par

 

et la distance entre deux points   par

 .

Les géodésiques sont des arcs de cercles orthogonaux (en leurs extrémités) au cercle unité frontière du disque.

Le disque épointé modifier

 
J-invariant dans les coordonnées du disque épointé.
 
J-invariant dans les coordonnées du disque de Poincaré ; on remarquera que ce disque est tourné de 90° par rapport aux coordonnées canoniques données dans le corps de l'article

Une application importante définie sur le demi-plan est l'application appliquant le demi-plan   sur le disque épointé   via la fonction exponentielle

 .

Dans la théorie des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, la variable q est le nome (en) et τ le demi-rapport des périodes.

La métrique de Poincaré du demi-plan induit une métrique sur le q-disque

 ,

dont le potentiel est

 .

Lemme de Schwarz modifier

La métrique de Poincaré est une application contractante sur les fonctions harmoniques. Ce résultat est une généralisation du lemme de Schwarz, appelée le théorème de Schwarz-Alhfors-Pick (en).

Références modifier

Bibliographie modifier

  • (en) Hershel M. Farkas et Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-90465-4).
  • (en) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. (ISBN 3-540-43299-X) (Voir section 2.3).
  • (en) Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago (ISBN 0-226-42583-5) (Une introduction simple et lisible.)