Méthode des moments (probabilité)
Pour les articles homonymes, voir Méthode des moments.
En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la méthode des moments consiste à prouver une convergence en loi en démontrant la convergence de tous les moments[1].
Soit X une variable aléatoire réelle dont tous les moments existent, c'est-à-dire
- .
Supposons que la loi de X soit complètement déterminée par ses moments, c'est-à-dire que si Y est une autre variable aléatoire telle que
![{\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]=\mathbb {E} [Y^{k}]~~\forall k\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9d5c05512b2738bed8e4ffa0d1484e7abca3c8)
alors X et Y ont la même loi.
Sous ces conditions, si (Xn) est une suite de variables aléatoires telle que
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}^{k}]=\operatorname {E} [X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626847c35cbb4f0b4788b996c540852411a4287c)
pour toutes les valeurs de k, alors la suite (Xn) converge en loi vers X.
La méthode des moments a été introduite par Pafnuty Chebyshev pour prouver le théorème central limite ; Chebyshev a cité des contributions antérieures d'Irénée-Jules Bienaymé[2]. Plus récemment, elle a été appliquée par Eugene Wigner pour prouver la loi du demi-cercle et a depuis trouvé de nombreuses applications dans la théorie des matrices aléatoires[3].
Références modifier
- (en) A V Prokhorov, Encyclopaedia of Mathematics (online) (ISBN 1-4020-0609-8, MR 1375697, lire en ligne), « Moments, method of (in probability theory) »
- (en) H Fischer, A history of the central limit theorem. From classical to modern probability theory., New York, Springer, coll. « Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences », (ISBN 978-0-387-87856-0, MR 2743162), « 4. Chebyshev's and Markov's Contributions. »
- (en) G W Anderson, A Guionnet et O Zeitouni, An introduction to random matrices., Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-19452-5), « 2.1 »
