Mécanique du contact
En génie mécanique, la mécanique du contact décrit le comportement de structures en contact ou vouées à entrer en contact. Elle comprend la modélisation (sous forme d'équations, d'inéquations, d'inclusions, de projections) du comportement de ces structures mécaniques et le développement d'algorithmes capables de générer une approximation numérique dont les propriétés sont contrôlées (convergence, stabilité).
La mécanique du contact est un sujet relativement ardu. La difficulté principale provient des conditions dites de non-pénétration qui interdisent aux structures en contact d'occuper, au moins en partie, le même domaine spatial ainsi que des conditions de frottement. Ces conditions posent des difficultés théoriques et numériques.
Contact unilatéral en statique modifier
Dans cette section, le frottement est ignoré, ainsi que le temps. Seules les conditions de contact unilatéral sont évoquées.
Système à un degré de liberté modifier
Dans cette section, afin d'établir un cadre (très) simplifié de la mécanique du contact, un seul degré de liberté est supposé, comme indiqué sur la figure 1 : le système idéalisé implique donc le déplacement de la masse . Cette masse est initialement, c'est-à-dire quand le système est au repos (force extérieure ignorée ), séparée d'un mur rigide d'une distance appelée jeu. Sous l'effet d'un force extérieure , la masse est amenée à se déplacer. La raideur , évidemment quantité strictement positive (on observe immédiatement, sur la figure 2, qu'une raideur négative élimine soit l'unicité de la solution, soit son existence), aura tendance à la retenir. Sous cette hypothèse, plusieurs formulations équivalentes sont disponibles. L'exemple considéré est particulièrement simple. Il ne s'agit aucunement d'être exhaustif mais de se concentrer sur la bonne formulation des conditions de contact. Le cadre général, comprenant notamment des cinématiques plus riches, implique rapidement l'usage de notations lourdes qui n'aident pas à la compréhension des concepts.
Loi de contact unilatéral modifier
La loi de contact unilatéral d'un solide sur un obstacle rigide fut proposée par Signorini et s'écrit
- contact inactif (ou jeu ouvert): et ;
- contact actif (ou jeu fermé): et .
Ces trois conditions, écrites sous la forme de deux inéquations et d'une égalité, sont dites conditions de complémentarité. C'est leur aspect combinatoire qui rend la mécanique de contact difficile.
Équations du mouvement modifier
Les équations qui gouvernent le statut du système combinent l'équation de la statique (principe de Newton) à la loi de Signorini. Elles s’énoncent comme suit:
Dans l'exemple considéré ci-dessus, les équations sont très simples à résoudre. Il y a deux inconnues, à savoir et , et deux ensembles décrits par les deux lignes précédentes : ces deux ensembles s'intersectent nécessairement en un unique point. Une fois des valeurs numériques assignées aux quantités mécaniques en jeu, il suffit de discuter deux situations:
- contact inactif (ou jeu ouvert): , soit et ;
- contact actif (ou jeu fermé): et .
Comme mentionné précédemment, l'aspect combinatoire est tel que toutes les configurations possibles doivent être testées avant de trouver la solution. C'est rapide pour un système à un seul degré de liberté mais beaucoup plus gourmand pour les grands systèmes.
Minimisation de l'énergie potentielle modifier
Les équations précédentes peuvent être réécrites par minimisation d'énergie sous contrainte unilatérale. On fait appel aux outils de l'optimisation. Pour cette configuration hautement simplifiée, il s'agit d'écrire formellement:
Inéquation variationnelle modifier
Les inéquations variationnelles sont moins connues des ingénieurs en général. La mise en place des équations demandent un ingrédient particulier, à savoir l'espace des déplacements admissibles, c'est-à-dire qui ne violent pas la condition de non-pénétration, soit . La formulation nécessite un déplacement virtuel admissible (aussi appelé fonction test par les mathématiciens), appartenant à l'ensemble . Elle s'écrit:
Trouver le déplacement tel que .
Les outils provenant de l'analyse convexe forment la base de cette approche parce que l'ensemble est convexe: c'est aussi un sous-ensemble de l'espace des déplacements n'ayant pas à satisfaire les contraintes de contact. Sans entrer dans les détails, on remarque que la force de contact n'apparaît pas explicitement dans la formulation. C'est un de ses avantages parce qu'aucune hypothèse sur n'est stipulée. Cet avantage n'est pas évident pour la configuration en cours, mais l'est dans des cadres mathématiques plus avancés.
Cette formulation est aussi dite formulation en déplacement ou formulation primale parce que l'effort de contact n'apparaît pas explicitement.
Formulation par projection modifier
Opérateur max modifier
Les équations de Newton évoquées précédemment, associant égalités et inégalités, peuvent être réécrites sous forme d'égalités uniquement, grâce à l'opérateur de projection. Dans la configuration présente, cet opérateur de projection, est équivalent à la fonction
Cette formulation est intéressante dans le sens où il est possible d'utiliser un solveur de Newton non lisse pour résoudre le système d'équations. Il faut cependant faire attention puisque la faible régularité de la fonction peut poser problème. Il s'agit aussi d'une formulation hybride parce que les deux quantités et sont des inconnues du problème.
Projection sur un sous-ensemble convexe modifier
Il est possible d'obtenir une autre version primale du problème grâce à la projection sur le sous-ensemble convexe . Cette projection s'écrit
La solution du problème satisfait alors l'égalité , avec un arbitraire strictement positif. L'égalité se vérifie aisément et qui peut être lue dans le sens du point fixe . C'est une formulation primale dans le sens où la quantité est la seule inconnue du problème.
Inclusion modifier
Les développements précédents peuvent aussi s'exprimer sous forme d'inclusion. Pour cela, il faut réécrire la fonction multivoque définie par les conditions de Signorini, soit:
Systèmes à plusieurs degrés de liberté modifier
Frottement en statique modifier
Système à un degré de liberté modifier
Équations du mouvement modifier
Contact unilatéral en dynamique modifier
Système à un degré de liberté modifier
L'exemple classique de la balle rebondissante est utilisé. Il s'agit bien d'un système à un degré de liberté semblable à l'exemple en statique mais la raideur a été éliminée afin de simplifier les développements.
Équations du mouvement modifier
Dans un premier temps, on peut être tenté d'ajouter seulement le terme d'inertie dans les équations de la statique pour aboutir à:
Bibliographie modifier
- Vincent Acary (2001), Contribution à la modélisation mécanique et numérique des édifices maçonnés, thèse de doctorat
- Pierre Alart (1997), Méthode de Newton généralisée en mécanique du contact. Journal de mathématiques pures et appliquées, vol 76, p. 83-108
- Houari Boumediène Khenous (2005), Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élastostatique et élastodynamique. Étude mathématique et résolution numérique, thèse de doctorat
- Roland Glowinski (1984), Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems