Loi normale repliée

loi de probabilité

Loi normale repliée
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Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres — (paramètre de position)
— (paramètre d'échelle)
Support
Densité de probabilité (voir l'article)
Fonction de répartition (voir l'article)
Espérance (voir l'article)
Variance (voir l'article)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme[1]) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons une variable aléatoire de loi normale avec moyenne et variance , alors la variable aléatoire est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.

Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.

Caractérisations modifier

Fonction de densité modifier

La densité de probabilité est donnée par :

 

Fonction de répartition modifier

La fonction de répartition est donnée par :

 

En utilisant le changement de variable  , on peut réécrire

 

De manière similaire, en utilisant le changement de variable   dans la première intégrale et   dans la deuxième, on peut écrire

 

erf est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand μ = 0.

Propriétés modifier

L'espérance est donnée par :

 

où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

La variance est donnée par :

 

Ces deux valeurs, espérance et variance, peuvent être vues comme les paramètres de position et d'échelle de la nouvelle loi.

Liens avec d'autres lois modifier

Références modifier

  1. H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, no 1,‎ , p. 17-36 (lire en ligne)
  • (en) FC Leone, RB Nottingham et LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, no 4,‎ , p. 543–550 (DOI 10.2307/1266560, JSTOR 1266560)
  • (en) NL Johnson, « The folded normal distribution: accuracy of the estimation by maximum likelihood », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 4, no 2,‎ , p. 249–256 (DOI 10.2307/1266622, JSTOR 1266622)
  • (en) LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Journal of Quality Technology, vol. 12, no 4,‎ , p. 236–238 (DOI 10.1080/00224065.1980.11980971)
  • (en) RC Elandt, « The folded normal distribution: two methods of estimating parameters from moments », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, no 4,‎ , p. 551–562 (DOI 10.2307/1266561, JSTOR 1266561)
  • (en) PC Lin, « Application of the generalized folded-normal distribution to the process capability measures », The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 26, nos 7–8,‎ , p. 825–830 (DOI 10.1007/s00170-003-2043-x)