En théorie des probabilités et en statistique , la loi du cosinus surélevé est une loi de probabilité continue définie à partir de la fonction cosinus . Elle dépend de deux paramètres : un réel μ qui est la moyenne et un paramètre positif s décrivant la variance.
Loi du cosinus surélevé
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
Support
x
∈
[
μ
−
s
,
μ
+
s
]
{\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}
Densité de probabilité
1
2
s
[
1
+
cos
(
x
−
μ
s
π
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,}
Fonction de répartition
1
2
[
1
+
x
−
μ
s
+
1
π
sin
(
x
−
μ
s
π
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1\!+\!{\frac {x\!-\!\mu }{s}}\!+\!{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}
Espérance
μ
{\displaystyle \mu \,}
Médiane
μ
{\displaystyle \mu \,}
Mode
μ
{\displaystyle \mu \,}
Variance
s
2
(
1
3
−
2
π
2
)
{\displaystyle s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,}
Asymétrie
0
{\displaystyle 0\,}
Kurtosis normalisé
6
(
90
−
π
4
)
5
(
π
2
−
6
)
2
{\displaystyle {\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}\,}
Fonction génératrice des moments
π
2
sinh
(
s
t
)
s
t
(
π
2
+
s
2
t
2
)
e
μ
t
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}}
Fonction caractéristique
π
2
sin
(
s
t
)
s
t
(
π
2
−
s
2
t
2
)
e
i
μ
t
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}}
modifier
Lorsque μ = 0s =1loi du cosinus surélevé standard .
Densité de probabilité
modifier
La densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé a pour support l'intervalle [μ – s , μ + s ] et est donnée par :
f
(
x
;
μ
,
s
)
=
{
1
2
s
[
1
+
cos
(
x
−
μ
s
π
)
]
pour
μ
−
s
≤
x
≤
μ
+
s
0
sinon.
{\displaystyle f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,&{\hbox{ pour }}\mu -s\leq x\leq \mu +s\\0&{\textrm {sinon.}}\end{cases}}}
Fonction de répartition
modifier
La fonction de répartition de la loi du cosinus surélevé est
F
(
x
;
μ
,
s
)
=
{
0
pour
x
<
μ
−
s
,
1
2
[
1
+
x
−
μ
s
+
1
π
sin
(
x
−
μ
s
π
)
]
pour
μ
−
s
≤
x
≤
μ
+
s
,
1
pour
x
>
μ
+
s
.
{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\mu -s,\\{\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\hbox{ pour }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\1&{\hbox{ pour }}x>\mu +s.\end{cases}}}
Les moments de la loi du cosinus surélevé sont plutôt compliqués, mais sont cependant beaucoup plus simples dans le cas de la loi du cosinus surélevé standard. Cette loi est la loi du cosinus surélevé pour les paramètres μ = 0s =1densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé standard est une fonction paire , les moments d'ordre impair sont alors nuls. Les moments d'ordre pair sont donnés par :
E
(
x
2
n
)
=
1
2
∫
−
1
1
[
1
+
cos
(
x
π
)
]
x
2
n
d
x
{\displaystyle E(x^{2n})={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,\mathrm {d} x}
=
1
n
+
1
+
1
1
+
2
n
1
F
2
(
n
+
1
2
;
1
2
,
n
+
3
2
;
−
π
2
4
)
{\displaystyle ={\frac {1}{n\!+\!1}}+{\frac {1}{1\!+\!2n}}\,_{1}F_{2}\left(n\!+\!{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n\!+\!{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)}
où 1 F 2 fonction hypergéométrique généralisée .
![{\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021cb61824dc30c9ce4228710410d45d7b8ea2dd)
![{\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9102d632ce3783024691470ecee4a1746288e59a)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1\!+\!{\frac {x\!-\!\mu }{s}}\!+\!{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de99d5a75fa1d7d33e3f88dafbeec680af501f7c)
![{\displaystyle f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,&{\hbox{ pour }}\mu -s\leq x\leq \mu +s\\0&{\textrm {sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c217da3b0b6cd50855cd23569f0f16bb1d540c32)
![{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\mu -s,\\{\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\hbox{ pour }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\1&{\hbox{ pour }}x>\mu +s.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7496d24accc4c464a55439988bb9b9caa1908fc7)
![{\displaystyle E(x^{2n})={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04729f50cddfc30f1d73ff649bcd285c5ce7aa64)
