Loi demi-normale
Paramètres
σ > 0 {\displaystyle \sigma >0}
Support
y ∈ [ 0 , + ∞ [ {\displaystyle y\in [0,+\infty [\,}
Densité de probabilité
2 σ π exp ( − y 2 2 σ 2 ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
Fonction de répartition
∫ 0 y 1 σ 2 π exp ( − x 2 2 σ 2 ) d x {\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx}
Espérance
σ 2 π {\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}
Variance
σ 2 ( 1 − 2 π ) {\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}
Entropie
1 2 log ( π σ 2 2 ) + 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}}
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En théorie des probabilités et en statistique , la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée .
Soit X {\displaystyle X} une variable aléatoire de loi normale centrée, X ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})} , alors Y = | X | {\displaystyle Y=|X|} est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et σ {\displaystyle \sigma } .
Caractérisations
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Densité de probabilité
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La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :
f Y ( y ; θ ) = { 2 σ π exp ( − y 2 2 σ 2 ) si y > 0 0 sinon. {\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} L'espérance est :
E [ Y ] = μ = σ 2 π {\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}} .En faisant le changement de variable : θ = π σ 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}} , utile lorsque σ {\displaystyle \sigma } est proche de zéro, la densité prend la forme :
f Y ( y ; θ ) = { 2 θ π exp ( − y 2 θ 2 π ) si y > 0 0 sinon. {\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} L'espérance est alors :
E [ Y ] = μ = 1 θ {\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}} .Fonction de répartition
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La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :
F Y ( y ; σ ) = { ∫ 0 y 1 σ 2 π exp ( − x 2 2 σ 2 ) d x si y > 0 0 sinon. {\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} En utilisant le changement de variable z = x / ( 2 σ ) {\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )} , la fonction de répartition peut s'écrire
F Y ( y ; σ ) = { 2 π ∫ 0 y / ( 2 σ ) exp ( − z 2 ) d z = erf ( y 2 σ ) , si y > 0 0 sinon. {\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\mbox{erf}}\left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} où erf est la fonction d'erreur .
La variance est :
Var ( Y ) = σ 2 ( 1 − 2 π ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).} Puisqu'elle est proportionnelle à la variance σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} de X , σ {\displaystyle \sigma } peut être vu comme un paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.
L'entropie de la loi demi-normale est
H ( Y ) = 1 2 log ( π σ 2 2 ) + 1 2 . {\displaystyle H(Y)={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}.} Liens avec d'autres lois
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La loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée avec μ = 0.
( Y σ ) 2 {\displaystyle ({\frac {Y}{\sigma }})^{2}} suit une loi du χ² à un degré de liberté.