Loi de probabilité marginale

En théorie des probabilités et en statistique, la loi marginale d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire d'une variable aléatoire à plusieurs dimensions, est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Autrement dit, la loi marginale est une variable aléatoire obtenue par « projection » d'un vecteur contenant cette variable.

Par exemple, pour un vecteur aléatoire , la loi de la variable aléatoire est la deuxième loi marginale du vecteur.

Définition modifier

Pour obtenir la loi marginale d'un vecteur, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale. La loi marginale   de   s'obtient par la formule :

  pour tout  .

Soient   et   deux variables aléatoires de l'espace probabilisé   vers l'espace mesurable   et  .

Les lois de probabilité marginales du vecteur aléatoire   sont les lois de probabilité de   et de  . On traite ici celle de   (la méthode est la même pour celle de  ). D'après le théorème des probabilités totales, elle est liée à la loi de probabilité conditionnelle :

 

Exemples modifier

Loi discrète modifier

Si   est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable  , alors :

 

C'est notamment le cas quand   est fini. En notant   ses valeurs et   les probabilités  , la loi de probabilité devient :

 

Le tableau suivant donne un exemple. On a marqué les probabilités que X = xi et Y = yj. La loi marginale pour X donne les probabilités que X = xi. Elle est donnée sur la dernière ligne. Par exemple, la probabilité que X = x1 est obtenue en sommant les probabilités d'avoir X = x1 et Y = y1, X = x1 et Y = y2, et X = x1 et Y = y3. Ainsi, on a 16/32 = 4/32+3/32+9/32. De même, la loi marginale pour Y est donné dans la dernière colonne.

x1 x2 x3 x4 pY(y) ↓
y1 4/32 2/32 1/32 1/32 8/32
y2 3/32 6/32 3/32 3/32 15/32
y3 9/32 0 0 0 9/32
pX(x) → 16/32 8/32 4/32 4/32 32/32

Loi absolument continue modifier

Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales par les formules :

 

  est la densité de probabilité du vecteur  .

De manière plus générale, si   et   sont des variables aléatoires absolument continues, de densité de probabilité conjointe   par rapport à une mesure  -finie   sur  , alors :

 

Notes et références modifier

Voir aussi modifier

Bibliographie modifier

  : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Articles connexes modifier