Loi de Nakagami

Loi de Nakagami
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$m\geq 1/2$, paramètre de forme $\omega >0$, propagation
Support	$x>0\!$
Densité de probabilité	${\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)$
Fonction de répartition	${\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}$
Espérance	${\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\omega }{m}}\right)^{1/2}$
Médiane	pas d'expression formelle
Mode	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\omega }{m}}\right)^{1/2}$
Variance	$\omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Nakagami ou loi de m-Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support $[0,\infty [$. Le paramètre $m>0$ est un paramètre de forme, le second paramètre $\omega >0$ permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma, son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami.

Caractérisations

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par :

$f(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

où $\Gamma$ est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

$F(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle P\left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Estimation des paramètres

Les paramètres $m$ et $\omega$ sont :

$m={\frac {\mathbb {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{Var\left[X^{2}\right]}},$

et

$\omega =\mathbb {E} \left[X^{2}\right].$

Simulation

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, $Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )$, il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, $X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(\mu ,\omega )$, en posant $k=m$, $\theta =\omega /m$, et en considérant la racine carrée de Y :

$X={\sqrt {Y}}\,$.

Historique et applications

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960, c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins.