Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un espace métrique dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique^[1]. C'est du moins la définition initialement donnée par Benoît Mandelbrot^[2], mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Fractales déterministes modifier

δ < 1 modifier

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1	0	Nombres rationnels	La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. La dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différente s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R^[1].
Calculé	0,538	Attracteur de Feigenbaum	L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $\lambda _{\infty }=3{,}570$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale^[3].
${\frac {\log 2}{\log 3}}$	0,6309	Ensemble de Cantor	Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la $n$ -ième itération, le segment central de longueur $\gamma ^{n}$ . Sa dimension fractale vaut alors $-{\frac {1}{\log _{2}{\frac {1-\gamma }{2}}}}$ et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec $\gamma =1/3$ ^[4].
$\log _{2}\varphi$	0,6942	Ensemble de Cantor asymétrique	Remarquer que la dimension n'est plus ${\frac {1}{\log _{2}3}}$ , ni même ${\frac {1}{3-\log _{2}3}}$ (cas symétrique ci-dessus avec $\gamma ={\tfrac {1}{4}}$ )^[5]. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ (nombre d'or).
${\frac {\log(5)}{\log(10)}}$	0,69897	Nombres réels avec décimales paires	Rappelant un ensemble de Cantor^[1].
${\frac {\log(5)}{\log(9)}}$	0,7325	Fractale UNU	Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2 modifier

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$1$	1,0000	Ensemble de Smith-Volterra-Cantor	Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64^e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
$2+\log _{2}(1/2)=1$	1,0000	Courbe de Takagi ou Blanc-manger	Définie sur l'intervalle unité par $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}}$ , où $s(x)$ est la fonction « dents de scie ». Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg : $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{w^{n}s(2^{n}x)}$ avec $w=1/2$ . La dimension de Hausdorff vaut $2+\log _{2}w$ ^[6].
calculé	1,0812	Ensemble de Julia z² + 1/4	Ensemble de Julia pour c = 1/4^[7].
Solution s de $2\|\alpha \|^{3s}+\|\alpha \|^{4s}=1$	1,0933	Frontière de la fractale de Rauzy	Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci : $1\mapsto 12$ , $2\mapsto 13$ et $3\mapsto 1$ ^[8]. $\alpha$ est l'une des deux racines complexes conjuguées de $z^{3}-z^{2}-z-1=0$ .
$2{\frac {\log(3)}{\log(7)}}$	1,12915	Île de Gosper	Baptisée par Mandelbrot (1977). Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting)	1,2	Ensemble de Julia pour c=i (dendrite)	Ensemble de Julia pour c = i
$3{\frac {\log(\varphi )}{\log \left({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)}}$	1,2083	Fractale du mot de Fibonacci à 60°	Construite à partir du mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous^[9]. Avec $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ (nombre d'or).
	1,2107	Frontière du tame twindragon	Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)^[10].
${\frac {\log(3)}{\log(1+{\sqrt {2}})}}$	1,2465	Frontière de la fractale du mot de Fibonacci	Construite à partir du mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous^[9]. Avec $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ (nombre d'or).
	1,26	Attracteur de Hénon	La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0,3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ.
$\log _{3}4$	1,2619	Courbe de Koch	En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
$\log _{3}4$	1,2619	Frontière de la courbe Terdragon	L-System : semblable à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
$\log _{3}4$	1,2619	Carré de Cantor	Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé	1,2683	Ensemble de Julia pour z²-1	Ensemble de Julia pour c=-1^[7].
Mesuré (box-counting)	1,3	Fractale Beryl pour k=1	Pour k=1. La fractale Béryl est définie par $x_{0}=c~,~y_{0}=1~;~x_{n+1}=k(x+y)~,~y_{n+1}=xy-y^{2}$ avec x et y complexes, c un point du plan complexe, et la coupe dans le plan $\nu _{0}=1$ ^[11]
calculé	1,3057	Baderne d'Apollonius	Voir^[7]
calculé (box-counting)	1,328	Fractale d'inversion à 5 cercles	L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir^[12]
calculé	1,3934	Lapin de Douady	Ensemble de Julia pour c=-0,123+0,745i^[7].
Mesuré (box counting)	1,42 ± 0,02	Fractale de Newton	Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'équation $z^{3}-1=0$ par la méthode de Newton.
$\log _{3}5$	1,4649	Fractale de Vicsek	Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
$\log _{3}5$	1,4649	Courbe de Koch quadratique (type 1)	On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
$\log _{4}8={\frac {3}{2}}$	1,5000	Courbe de Koch quadratique (type 2)	Appelée également « saucisse de Minkowski ».
$2-\log _{2}{\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}$	1,5000	une fonction de Weierstrass : $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2^{k}x)}{{\sqrt {2}}^{k}}}$	La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ définie par $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(b^{k}x)}{a^{k}}}$ avec $1<a<2$ et $b>1$ est $2-\log(a)/\log(b).$ ^[13]Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus^[1].
$\log _{2}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}$	1,5236	Frontière courbe du dragon	Cf. Chang & Zhang^[14].
$\log _{2}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}$	1,5236	Frontière du twindragon	Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)^[10].
$\log _{2}3$	1,5849	Arbre à trois branches	Chaque branche porte trois branches (ici 90° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
$\log _{2}3$	1,5849	Triangle de Sierpiński	C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
$\log _{2}3$	1,5849	Courbe de Sierpiński en pointe de flèche	Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
$\log _{2}3$	1,5849	Frontière de la fractale de l'équerre (en) (T-square)
${\frac {\log \varphi }{\log {\sqrt[{\varphi }]{\varphi }}}}$	1,61803 = $\varphi$	un dragon d'or	Construit avec deux homothéties de rapport $r$ et $r^{2}$ , avec $r=1/\varphi ^{1/\varphi }$ . La dimension vaut $\varphi$ car $({r^{2}})^{\varphi }+r^{\varphi }=1$ . Avec $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ (nombre d'or).
$1+\log _{3}(2)$	1,6309	Triangle de Pascal modulo 3	D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $1+\log _{k}{\frac {k+1}{2}}$ (cf. Stephen Wolfram^[15])
$\log _{3}6$	1,6309	Hexagone de Sierpinski	Construit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch.
$3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}$	1,6379	Fractale du mot de Fibonacci	Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments^[9]. Avec $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ (Nombre d'or).
Solution de $(1/3)^{s}+(1/2)^{s}+(2/3)^{s}=1$	1,6402	Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3	Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c_{n}$ , a pour dimension de Hausdorff $s$ , solution de l'équation : $\sum _{k=1}^{n}c_{k}^{s}=1$ ^[1].
$1+\log _{5}(3)$	1,6826	Triangle de Pascal modulo 5	D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $1+\log _{k}{\frac {k+1}{2}}$ (cf. Stephen Wolfram^[15])
Mesuré (box-counting)	1,7	Attracteur d'Ikeda	Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0,9, k=0,4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda $z_{n+1}=a+bz_{n}\exp[i[k-p/(1+\lfloor z_{n}\rfloor ^{2})]]$ . Dérive d'un modélisation d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs^[16].
${\frac {\log 4}{\log {\sqrt {5}}}}$	1,7227	Fractale pinwheel	Construite à partir du pavage en moulin à vent de John Conway.
$\log _{3}7$	1,7712	Hexagone de Sierpinski	Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
log(7) / log(3)	1,7712	Fractal H-I de Rivera	En partant d'un carré divisant ses dimensions en trois parties égales pour former neuf carrés auto-similaires avec le premier carré, deux carrés du milieu (celui du dessus et celui du dessous du carré central) sont supprimés dans chacun des sept carrés non éliminés le processus est répété, donc il continue indéfiniment.
${\frac {\log 4}{\log(2(1+\cos(85^{\circ }))}}$	1,7848	Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro	Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors ${\frac {\log N}{\log(2\left(1+\cos a)\right)}}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
$\log _{2}(3^{0{,}63}+2^{0{,}63})$	1,8272	Une fractale auto-affine	Construite itérativement à partir d'une grille $p\times q$ sur un carré, avec $p\leq q$ . Sa dimension de Hausdorff égale $\log _{p}\left(\sum _{k=1}^{p}n_{k}^{a}\right)$ ^[1] avec $a={\frac {\log p}{\log q}}$ et $n_{k}$ le nombre d'éléments dans la colonne k. La dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
${\frac {\log(6)}{\log(1+\phi )}}$	1,8617	Flocon pentagonal (en) (pentaflake)	Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $\phi$ est le nombre d'or et vaut $(1+{\sqrt {5}})/2$
solution de $6(1/3)^{s}+5{(1/3{\sqrt {3}})}^{s}=1$	1,8687	L'"arbre des singes"	Cette courbe apparaît sous ce nom dans (Mandelbrot 1982). Elle est basée sur 6 homothéties de rapport $1/3$ et 5 homothéties de rapport $1/(3{\sqrt {3}})$ ^[17].
$\log _{3}8$	1,8928	Tapis de Sierpiński
$\log _{3}8$	1,8928	Cube de Cantor	Ensemble de Cantor en trois dimensions.
$\log _{3}4+\log _{3}2=\log _{3}8$	1,8928	Produit cartésien de la courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor	Généralisation : Soit F×G, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors $dim H (F\timesG) = dim H (F) + dim H (G)$ ^[1].
Estimé	1,9340	Frontière de la fractale de Lévy	Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
	1,974	Pavage de Penrose	Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal^[18]

δ = 2 modifier

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$2$	2	Frontière de l'ensemble de Mandelbrot	La frontière a la même dimension que l'ensemble^[19].
$2$	2	certains ensembles de Julia	Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2^[19].
$2$	2	Courbe de Sierpiński (en)	Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
$2$	2	Courbe de Hilbert	Peut être étendue à trois dimensions.
$2$	2	Courbe de Peano	et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
$2$	2	Courbe de Moore (en)	Peut être étendue à 3 dimensions.
$2$	2	Courbe de Lebesgue	Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3^[20].
${\frac {\log 2}{\log {\sqrt {2}}}}$	2	Courbe du dragon	Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang^[14])
	2	Courbe "Terdragon"	L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
$\log _{2}4$	2	Courbe de Peano-Gosper	Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de $7({1/3})^{s}+6({1/3{\sqrt {3}}})^{s}=1$	2	Courbe remplissant le flocon de Koch	Proposée par Mandelbrot en 1982^[21], elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport $1/3{\sqrt {3}}$ .
$\log _{2}4$	2	Tétraèdre de Sierpinski	Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini^[22].
$\log _{2}4$	2	Fractale H	Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
${\frac {\log(1/2)}{\log(1/{\sqrt {2}})}}$	2	Arbre de Pythagore	Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de 1/racine(2).
$\log _{2}4$	2	Fractale en croix grecque	Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3 modifier

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
Mesuré	2,01 +-0,01	Attracteur de Rössler		La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02^[23]^,^[24].
Mesuré	2,06 +-0,01	Attracteur étrange de Lorenz		Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $\sigma$ =16 et b=4^[25].
$\log _{2}5$	2,3219	Pyramide fractale		Chaque pyramide est substituée par 5 pyramides. Ne pas confondre avec le tétraèdre de Sierpinski, il s'agit de pyramides à base carrée.
${\frac {\log(20)}{\log(2+\phi )}}$	2,3296	Dodécaèdre fractal		Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres^[22].
$\log _{3}(13)$	2,33	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
	2,47	Interstices des sphères d'Apollonius		Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert^[26].
$\log _{4}(32)$	2,50	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
$\log _{3}(16)$	2,5237	Hypercube de Cantor	pas de représentation possible	Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $\log _{3}2$
${\frac {\log({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}})}{\log({\sqrt {2}}-1)}}$	2,529	Cube de Jérusalem		Son rapport d'homothétie est irrationnel, il vaut ${\sqrt {2}}-1$ . Une itération sur un cube n construit huit cubes de rang suivant n + 1 et douze cubes de rang n + 2. A comparer avec l'Éponge de Menger, dont le volume tend aussi vers zéro.
${\frac {\log(12)}{\log(1+\phi )}}$	2,5819	Icosaèdre fractal		Chaque icosaèdre est remplacé par 12 icosaèdres^[22].
$\log _{2}6$	2,5849	Octaèdre fractal		Chaque octaèdre est remplacé par 6 octaèdres^[22].
$\log _{2}6$	2.5849	Surface de Koch		Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
$\log _{2}6$	2,59	Fractale en croix grecque en trois dimensions		Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
${\frac {\log(3)}{\log(3/2)}}$	2,7095	Von Koch en 3D (fractale Delta)		Part d'un polyèdre de 6 faces isocèles ayant des côtés de ratio 2:2:3. remplacer chaque polyèdre pas trois copies de lui-même, 2/3 plus petites^[27].
$\log _{3}(20)$	2,7268	Éponge de Menger		Sa surface a une dimension fractale de $\log _{3}(12)\approx 2{,}2618$ .
$\log _{2}7$	2,8073	Heptaèdre fractal		Construit avec 7 homothéties de rapport 1/2. Ses faces sont constituées de triangles de Sierpinski. Son volume tend vers zéro.

δ = 3 modifier

δ (val. exacte)	Nom	Remarques
$\log _{2}8=3$	Courbe de Hilbert en trois dimensions	Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
$\log _{2}8=3$	Courbe de Lebesgue en trois dimensions	Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions^[20]
$\log _{2}8=3$	Courbe de Moore (en) en trois dimensions	Courbe de Moore étendue à trois dimensions.
$3$	Mandelbulb	Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions^[28].

Fractales aléatoires et naturelles modifier

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
1/2	0,5	Zéros du graphe d'une fonction brownienne (Processus de Wiener)	Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale^[1]^,^[29].
Solution de $E(C_{1}^{s}+C_{2}^{s})=1$ avec $E(C_{1})=0,5$ et $E(C_{2})=0,3$	0,7499	Ensemble de Cantor aléatoire 50 % / 30 %	À chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire $C_{1}$ : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire $C_{2}$ . Sa dimension de Hausdorff $s$ satisfait alors l'équation : $E(C_{1}^{s}+C_{2}^{s})=1$ . ( $E(X)$ est l'espérance mathématique de $X$ )^[1].
Mesuré	1,05	Chromosome humain n^o 22	Voir référence pour les détails de la méthode de calcul^[30].
Solution de $s+1=122^{-(s+1)}-63^{-(s+1)}$	1,144…	Courbe de Koch avec intervalle aléatoire	La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)^[1].
Mesuré	1,24	Côte de Grande-Bretagne	Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et citée par Benoît Mandelbrot^[31].
$\log _{3}4$	1,2619	Courbe de Koch avec orientation aléatoire	On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe^[1].
${\frac {4}{3}}$	1,33	Frontière du mouvement brownien^[32]
${\frac {4}{3}}$	1,33	Polymère en deux dimensions	Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection^[33].
${\frac {4}{3}}$	1,33	Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions	Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3 %). C'est également la dimension fractale du front de corrosion^[33].
	1,40	Agrégat d'agrégats en deux dimensions	Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4^[33].
$2-{\frac {1}{2}}$	1,5	Graphe d'une fonction Brownienne (Processus de Wiener)	Graphe d'une fonction $f$ telle que, pour tout couple de réels positifs $x$ et $x+h$ , la différence de leurs images $f(x+h)-f(x)$ suit une distribution gaussienne centrée de variance = $h$ . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index $\alpha$ suit la même définition mais avec une variance = $h^{2\alpha }$ , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = $2-\alpha$ ^[1].
Mesuré	1,52	Côte de Norvège	Cf. Feder^[34].
Mesuré	1,55	Marche aléatoire sans intersection	Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
${\frac {5}{3}}$	1,66	Polymère en trois dimensions	Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection^[33].
	1,70	Agrégat par diffusion en deux dimensions	En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70^[33].
$\log _{3}(9*0{,}75)$	1,7381	Percolation fractale à 75 % de probabilité	Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale $\log _{3}(9p)$ ^[1].
7/4	1,75	Frontière d'un amas de percolation en deux dimensions	La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner (en)^[35].
${\frac {91}{48}}$	1,8958	Amas de percolation en deux dimensions	Sous le seuil de percolation (59,3 %), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48^[33]^,^[36]. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
${\frac {\log 2}{\log {\sqrt {2}}}}$	2	Mouvement brownien	Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
Mesuré	Environ 2	Distribution des amas de galaxies	Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence^[37]
$\log _{3}(13)$	2,33	Surface du chou-fleur	Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
	2,4 ± 0,2	Boule de papier froissé	Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé^[38]. Les plis se forment à toutes les échelles.
	2,50	Agrégat par diffusion en trois dimensions	En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5^[33].
	2,50	Figure de Lichtenberg	Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation^[33].
$3-{\frac {1}{2}}$	2,5	Surface Brownienne	Une fonction $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ , donne l'altitude d'un point $(x,y)$ telle que, pour deux incréments positifs $h$ et $k$ , $f(x+h,y+k)-f(x,y)$ suive une distribution Gaussienne centrée de variance = ${\sqrt {h^{2}+k^{2}}}$ . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index $\alpha$ suit la même définition mais avec une variance = $(h^{2}+k^{2})^{\alpha }$ , dans ce cas, sa dimension de Hausdorff = $3-\alpha$ ^[1].
Mesuré	2,52	Amas de percolation en 3 dimensions	Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ^[36].
Mesuré	2,66	Brocoli^[39]
	2,79	Surface du cerveau humain^[40]
	2,88 - 2,97	Surface pulmonaire	Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3^[33]^,^[41]
Calculé	3	Corde quantique	Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard^[42].

Notes et références modifier

↑ ^{a b c d e f g h i j k l m et n} Falconer 2003, p. xxv.
↑ (en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, 2009 (lire en ligne), p. 225.
↑ (en) On the metric properties of the Feigenbaum attractor DOI 10.1007/BF01007519.
↑ (en) The scattering from generalized Cantor fractals, arXiv:0911.2497.
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Voir aussi modifier

Bibliographie modifier

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Articles connexes modifier

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Liens externes modifier

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