Lemme de Schreier

En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.

Énoncé

Soient :

• $G$ un groupe ;
• $S$ une partie génératrice de $G$ ;
• $H$ un sous-groupe de $G$ ;
• $T$ une transversale à droite de $H$ dans $G$, contenant l'élément neutre.

Pour tout élément g de $G$, on note g l'élément de $T$ qui a même classe à droite :

${\overline {g}}\in T\quad {\text{et}}\quad g\in H{\overline {g}}$.

Alors, $H$ est engendré par le sous-ensemble

$\{ts({\overline {ts}})^{-1}\mid t\in T,s\in S\}$.

Exemple

Si $H$ est d'indice 2 dans $G$, alors $S$ contient au moins un $q\notin H$, et on peut prendre comme transversale $T=\{1,q\}$. On peut de plus se ramener au cas où $q$ est le seul élément de $S$ qui n'appartient pas à $H$ (en remplaçant les autres par leur produit par $q$). On calcule alors

$ts({\overline {ts}})^{-1}={\begin{cases}{\text{si}}~s=q\quad {\text{et}}&{\begin{cases}t=1:&q({\overline {q}})^{-1}=1\\t=q:&q^{2}({\overline {q^{2}}})^{-1}=q^{2}\end{cases}}\\{\text{si}}~s\in S\setminus \{q\}~{\text{et}}&{\begin{cases}t=1:&s({\overline {s}})^{-1}=s\\t=q:&qs({\overline {qs}})^{-1}=qsq^{-1}.\end{cases}}\end{cases}}$

$H$ est donc engendré par $q^{2}$ joint aux éléments de $S\setminus \{q\}$ et à leurs conjugués par $q$.

Applications

• On en déduit immédiatement que si $G$ est un groupe de type fini et $H$ un sous-groupe d'indice fini alors $H$ est de type fini.
• Ce lemme est également une première étape dans la preuve par Schreier du théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

Source

(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)