Intensité et pression acoustiques

Intensité et pression acoustiques décrivent la puissance surfacique et la surpression par rapport à la valeur ambiante d'une onde sonore caractérisée par la puissance de sa source et la géométrie du front d'onde de la propagation ou, de manière alternative, par les rayons de propagation acoustique. Cette équivalence dans la description est rendue possible par le fait que le son est caractérisé par une onde longitudinale.

Définitions, unités

L'intensité acoustique ou densité surfacique de puissance est comptée en W m⁻², la puissance de la source en W.

La pression acoustique $p_{a}$ est l'écart avec la pression ambiante $p_{0}$ :

$p_{a}(\mathbf {x} ,t)=p(\mathbf {x} ,t)-p_{0}(\mathbf {x} )$

Les niveaux très variables de pression acoustique entraînent l'utilisation de la notion de niveau de pression acoustique (sound pressure level - SPL) qui est une échelle logarithmique de la pression rapportée à une pression de référence  $p_{ref}=20~\mu Pa$ :

$SPL=20\ln {\left({\frac {p_{a}}{p_{ref}}}\right)}$

Cette quantité est comptée en néper. En replaçant  $\ln$  par  $\log _{10}$  dans l'expression on obtient la valeur en décibel.

On définit également la densité surfacique de puissance locale liée à la pression acoustique par :

$J_{a}(\mathbf {x} ,t)=p_{a}(\mathbf {x} ,t)\,v_{a}(\mathbf {x} ,t)$

où  $v_{a}$  est la vitesse de déplacement du fluide liée au passage de l'onde.  $J_{a}$  s'exprime en W m⁻².

Cette quantité est reliée à l'intensité ou densité surfacique de puissance moyenne par intégration du signal dans l'intervalle  $(t_{1},t_{2})$  le long d'un rayon acoustique  $\mathbf {x} _{r}(t)$ , lequel est défini dans le paragraphe suivant :

$I_{a}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}J_{a}(\mathbf {x} _{r},t)\mathrm {d} t$

Front d'onde et rayon acoustique

On peut définir un front d'onde lorsque la largeur du signal est négligeable devant sa courbure spatiale. La valeur locale du signal est alors réduite à son intensité. Ce front d'onde est défini par l'instant d'arrivée  $\tau (\mathbf {x} )$  au point  $\mathbf {x}$ . Le signal peut être décrit de manière alternative par l'ensemble des positions  $\mathbf {x} _{r}(t)$ , chacune de ces fonctions définissant un rayon de propagation. Dans un milieu qui se déplace à la vitesse  $\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )$  le front d'onde est simplement advecté et sa vitesse est :

$\mathbf {V} _{r}(\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+c_{0}(\mathbf {x} )\mathbf {n} (\mathbf {x} )$

où  $\mathbf {n}$  est la normale au front d'onde.

${\boldsymbol {\sigma }}=\nabla \tau$ est le vecteur lenteur (slowness) ou fonction eikonale défini par :

${\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {V} _{r}=1\quad \Leftrightarrow \quad c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} =1-\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} =\Omega$

Compte tenu de  ${\boldsymbol {\sigma }}=({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$  il vient :

${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathbf {n} }{c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} }}\,,\quad \mathbf {n} ={\frac {c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}$

 $|{\boldsymbol {\sigma }}|^{-1}=c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n}$  est la vitesse normale au front d'onde, d'où le nom de vecteur lenteur.

La seconde équation ci-dessus implique l'équation eikonale :

${\boldsymbol {\sigma }}^{2}={\frac {\Omega ^{2}}{c_{0}^{2}}}$

On peut alors écrire les équations des rayons acoustiques :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}&={\frac {c_{0}^{2}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}+\mathbf {V} _{0}\\{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\Omega }{c_{0}}}\nabla c_{0}-\nabla (\mathbf {V} _{0}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla ){\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$

Pression et intensité

Pour une compression isentropique sinusoïdale l'intensité proportionnelle au carré de la pression maximale :

$I_{a}={\frac {p_{a_{max}}^{2}}{2\rho _{0}c_{0}}}$

où  $\rho _{0}$  est la masse volumique du gaz au repos.

Démonstration

Considérons un cylindre de gaz parfait de longueur  $l$  dans le sens de propagation et d'aire  $A$ , quelconque, dans le plan perpendiculaire. Son volume est  $V=A\,~l$ . Il subit une compression isentropique sinusoïdale telle que  $p_{a}<<p_{0}$ :

$pV^{\gamma }=C^{te}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} V}{V}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} l}{l}}={\frac {\mathrm {d} p_{a}}{p}}\approx {\frac {\mathrm {d} p_{a}}{p_{0}}}$

Cette compression est supposée sinusoïdale : la longueur de région comprimée est :

$l=l_{0}+l_{max}\cos {(\omega t-kx)}$

D'où la variation de pression acoustique :

$p_{a}=-\gamma p_{0}{\frac {\mathrm {d} l}{\mathrm {d} x}}=-p_{a_{max}}\sin {(\omega t-kx)}\,,\quad p_{a_{max}}=\gamma \,k\,p_{0}\,l_{max}$

La vitesse de propagation est la vitesse de groupe, confondue avec la vitesse de phase :

$c_{0}={\frac {\omega }{k}}$

Cette vitesse vérifie :

$c_{0}^{2}=\gamma {\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

La vitesse instantanée du fluide est :

$v_{a}={\frac {\mathrm {d} l}{\mathrm {d} t}}=-\omega \,l_{max}\sin {(\omega t-kx)}={\frac {p_{a}}{\rho _{0}c_{0}}}$

D'où la densité surfacique d'énergie :

$J_{a}=p_{a}v_{a}={\frac {c_{0}\,p_{a_{max}}^{2}}{\gamma p_{0}}}\sin ^{2}{(\omega t-kx)}$

Par intégration sur une période  $\tau ={\frac {2\pi }{\omega }}$  on obtient l'intensité :

$I_{a}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }J_{a}\mathrm {d} t={\frac {c_{0}\,p_{a_{max}}^{2}}{2\gamma \,p_{0}}}={\frac {p_{a_{max}}^{2}}{2\rho _{0}c_{0}}}$

Cette expression n'est pas vraie en général.

Notes et références