Inégalité de Bernoulli

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :

Illustration de l'inégalité de Bernoulli pour $n=3$

$(1+x)^{n}>1+nx$

pour tout entier n > 1 et tout réel x non nul supérieur ou égal à −1.

Démonstrations

Par récurrence

Soit un réel $x\in \left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$. Montrons l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n .

• Initialisation : $(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x$ donc la propriété est vraie pour n = 2.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que $(1+x)^{k}>1+kx$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que $(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x$.
  En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : $(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}>1+(k+1)x$.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.

Utilisant la formule du binôme et la formule des séries géométriques

D'après la formule du binôme, si x > 0 , $(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+\cdots +x^{n}>1+nx$

et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si $-1\leqslant x<0$ : $n>1+(1+x)+\dots +(1+x)^{n-1}={\frac {1-(1+x)^{n}}{-x}}$, d'où $(1+x)^{n}>1+nx$.

Utilisant la notion de convexité

La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.

Plus précisément, si $f$ est strictement convexe dérivable sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un point de $I$, alors : $\forall x\in I\backslash \{x_{0}\}:f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$.

Appliquant ceci à $f(x)=(1+x)^{n}$ qui est bien strictement convexe sur $[-1,+\infty [$ pour $n>1$ car $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant $x_{0}=0$ on obtient bien $(1+x)^{n}>1+nx$.

Généralisation

Exposant étendu à un réel >1

Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :

$(1+x)^{r}>1+rx$.

La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est r qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et l'on étudie les variations de la fonction f définie sur D = [–1, +∞[ par :

$f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)$,

le but étant de montrer que f(x) > 0 pour tout x non nul appartenant à D.

Les deux premières dérivées de f sur ]–1, +∞[ sont données par :

$f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right)$,

$f''(x)=r(r-1)\left(1+x\right)^{r-2}>0$

donc $f'$ est nulle en 0 et strictement croissante. Elle est donc strictement négative sur ]–1, 0[ et strictement positive sur ]0, +∞[.

Par conséquent, la fonction f (continue en 0 et −1) est strictement décroissante sur [–1, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[.

Comme elle s'annule en 0, on a donc bien f > 0 sur $\left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$.

Cas d'un réel strictement compris entre 0 et 1

Pour tout réel $r\in ]0,1[$ et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a cette fois :

$(1+x)^{r}<1+rx$.

La fonction $f$définie par $f(x)=(1+x)^{r}$ est cette fois strictement concave sur $[-1,+\infty [$ car $f''(x)=r(r-1)(1+x)^{r-2}<0$ sur $]-1,+\infty [$, d'où le changement de sens de l'inégalité.

Utilisations

L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel q > 1, la limite de la suite géométrique (qⁿ) est égale à +∞.

Elle peut aussi être utilisée pour démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : ${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$.