Identité de Vandermonde

En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, ou formule de Vandermonde, ainsi nommée en l'honneur d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), ou encore formule de convolution, affirme que, pour des entiers naturels $k,m,n$, on a

${\binom {m+n}{k}}=\sum _{\overset {0\leqslant i,j\leqslant k}{i+j=k}}{\binom {m}{i}}{\binom {n}{j}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {m}{i}}{\binom {n}{k-i}}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{k-j}}{\binom {n}{j}}$

où les nombres ${b \choose a}$, avec $a,b\in \mathbb {N}$, sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que ${b \choose a}={\frac {b!}{a!\,(b-a)!}}$ si $0\leqslant a\leqslant b$ (le point d'exclamation « ! » désignant la factorielle) et ${b \choose a}=0$ si $a>b$.

Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour $\max(0,k-m)\leqslant j\leqslant \min(n,k)$.

Le cas $n=m=k$ donne l'expression suivante du coefficient binomial central : ${\binom {2n}{n}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}^{2}$.

Démonstrations

Algébrique

La formule peut être démontrée de façon algébrique, en utilisant la formule du binôme pour développer de deux façons l'identité polynomiale

$(1+X)^{m+n}=(1+X)^{m}(1+X)^{n}$

puis en identifiant les coefficients du terme de degré $k$ de chacun des membres de l'égalité.

Combinatoire

Une preuve par double dénombrement est aussi possible : les deux expressions correspondent à deux façons de dénombrer les parties à $k$ éléments de E ∪ F, où E et F sont deux ensembles disjoints fixés, de cardinaux respectifs $m$ et $n$.

Probabiliste

Les ensembles E et F précédents sont modélisés par une urne contenant $m$ boules rouges et $n$ boules bleues. On effectue un tirage sans remise de $k$ boules. On demande la loi de probabilité du nombre $X$ de boules rouges ; la réponse est $P(X=i)={\frac {{\binom {m}{i}}{\binom {n}{k-i}}}{\binom {n+m}{k}}}$ (il s'agit de la loi hypergéométrique).

L'identité de Vandermonde s'interprète alors comme le fait que la somme de ces probabilités est égale à 1.

Identité de Chu-Vandermonde

L'identité de Chu-Vandermonde — du nom de Vandermonde et du mathématicien chinois Zhu Shijie (environ 1260 - environ 1320) — généralise l'identité de Vandermonde à des valeurs non entières (en utilisant la définition générale des coefficients binomiaux) :

${\binom {s+t}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {s}{k}}{\binom {t}{n-k}}$,

qui vient d'une réécriture de la « formule du binôme pour les factorielles décroissantes » établie par Vandermonde, exprimant que la suite des polynômes $x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$ est de type binomial :

$(s+t)^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}s^{\underline {n-k}}~t^{\underline {k}}$.

L'identité de Chu-Vandermonde est vraie pour tous nombres complexes s et t.

Elle est elle-même un cas particulier du théorème hypergéométrique de Gauss qui affirme que

$_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}$

où ₂F₁ est la fonction hypergéométrique et Γ est la fonction gamma. Il suffit de prendre a = –n et d'appliquer l'identité

${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k-n-1}{k}}$ à plusieurs reprises.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Vandermonde's identity » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• q-analogue de l'identité de Vandermonde

Lien externe

(en) BinomialCoefficients contient quelques démonstrations de l'identité de Vandermonde