Identité de Picone

Dans le domaine des équations différentielles ordinaires, l'identité de Picone, du nom de Mauro Picone, est un résultat classique sur les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre. Depuis sa découverte en 1910, elle a été utilisée avec beaucoup de succès, notamment pour donner une preuve presque immédiate du théorème de comparaison de Sturm, un théorème dont la preuve originale de Sturm en 1836 est longue. Elle est également utile pour étudier les oscillations (en) de ces équations et elle a été généralisée à d'autres types d'équations différentielles et d'équations aux différences.

Identité de Picone

Soient u et v des solutions des deux équations différentielles linéaires homogènes du second ordre suivantes, présentées sous forme auto-adjointe :

$(p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0$

et

$(p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0.$

Alors, sur l'ensemble des x tel que v(x) ≠ 0, l'identité suivante est satisfaite :

$\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}.$

Démonstration

On part de :

${\begin{aligned}\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'&=\left(up_{1}u'-p_{2}v'u^{2}{\frac {1}{v}}\right)'\\&=u'p_{1}u'+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'u^{2}{\frac {1}{v}}-p_{2}v'2uu'{\frac {1}{v}}+p_{2}v'u^{2}{\frac {v'}{v^{2}}}\\&=p_{1}u'^{2}-2p_{2}{\frac {uu'v'}{v}}+p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'{\frac {u^{2}}{v}}\\&=p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}u'{\frac {uv'}{v}}+p_{2}\left({\frac {uv'}{v}}\right)^{2}-u(q_{1}u)+(q_{2}v){\frac {u^{2}}{v}}\\&=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}.\end{aligned}}$

Articles connexes

• Théorie de Sturm-Liouville
• Théorème de comparaison de Sturm-Picone

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Picone identity » (voir la liste des auteurs).
• (it) Mauro Picone, « Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare del secondo ordine » [« Sur les valeurs exceptionnelles d'un paramètre dont dépend une équation différentielle linéaire du second ordre »], Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11,‎ 1910, p. 1-141 (lire en ligne)
• (en) Charles A. Swanson, « Picone's Identity », Rendiconti di Matematica, vol. 8, n^o 2,‎ 1975, p. 373-397