Identité de Brahmagupta

En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au III^e siècle avant J.C., en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé « méthode chakravala », dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) , ou « identité de Fibonacci » montre que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Plus précisément :

$\forall a,b,c,d\in A\quad (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$,

où A désigne un anneau commutatif.

Démonstration

Il suffit de développer puis factoriser le terme de droite :

${\begin{aligned}(ac-bd)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&=a^{2}c^{2}-2acbd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+2adbc+b^{2}c^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right).\end{aligned}}$

L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

$(a^{2}-nb^{2})(c^{2}-nd^{2})=(ac+nbd)^{2}-n\left(ad+bc\right)^{2}.$

Elle se déduit de celle de Diophante en multipliant $b$ et $d$ par ${\sqrt {-n}}$ (c.-à-d. par $e$, dans l'anneau quotient générique $\mathbb {Z} \left[a,b,c,d,n,e\right]/(e^{2}+n)$). Inversement, l'identité de Diophante est le cas particulier $n=-1$ de celle de Brahmagupta.

On obtient des formes équivalentes de ces deux identités en remplaçant $b$ par son opposé :

${\begin{aligned}(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})&=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2},\\(a^{2}-nb^{2})(c^{2}-nd^{2})&=(ac-nbd)^{2}-n(ad-bc)^{2}.\end{aligned}}$

Remarques

• L'identité de Brahmagupta exprime la multiplicativité de la norme relative à une extension quadratique.
• Un cas particulier est la multiplicativité du module d'un nombre complexe : si u = a + ib et v = c + id avec a, b, c, d réels, l'identité de Diophante exprime que |u|² |v|² = |uv|².
• Posant dans l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{2}$ $u=(a,b),v=(d,c)$, l'identité de Diophante exprime que $\|u\|^{2}\|v\|^{2}=(\det(u,v))^{2}+(u.v)^{2}$.
• L'identité des quatre carrés d'Euler peut être vue comme une généralisation, utilisant la norme des quaternions.
• Il existe une identité similaire en huit carrés, dérivée des nombres de Cayley et liée à la périodicité de Bott (en).