Icosagone

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Un icosagone est un polygone à 20 sommets, donc 20 côtés et 170 diagonales.

La somme des angles internes d'un icosagone non croisé vaut 3 240 degrés.

L'icosagone régulier est constructible.

Icosagones réguliers modifier

Un icosagone régulier est un icosagone dont les 20 côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a quatre : trois étoilés (les icosagrammes notés {20/3}, {20/7} et {20/9}) et un convexe (noté {20}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'icosagone régulier ».

L'icosagone régulier convexe {20} et ses angles remarquables.

Les trois icosagones réguliers étoilés
{20/3} (angle interne : 126°)
{20/7} (angle interne : 54°)
{20/9} (angle interne : 18°)

Caractéristiques de l'icosagone régulier modifier

Chacun des 20 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{20}}=18^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {3\,240^{\circ }}{20}}=162^{\circ }$ .

Si $a$ est la longueur d'une arête :

le périmètre vaut $P=20\,a$ ;
l'aire vaut $A=5\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)$ , soit :

A=5\,a^{2}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)

^[1] ;

l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)$ ;
le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{20}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{20}}\right)}}$ .