Groupe de Baumslag-Solitar

En mathématiques et notamment en théorie des groupes, les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples de groupes à deux générateurs et un relateur qui jouent un rôle important dans la théorie combinatoire des groupes et en théorie géométrique des groupes comme exemples ou contre-exemples.

Définition modifier

Les groupes de Baumslag-Solitar $BS(m, n)$ sont définis, pour toute paire $m,n$ d'entiers relatifs, par la présentation

{\text{BS}}(m,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{m}a=b^{n}\right\rangle

.

où la notation signifie que le groupe est le quotient du groupe libre engendré par les générateurs a et b par le sous-groupe distingué engendré par $a^{-1}b^{m}ab^{-n}$ .

Divers groupes $BS(m, n)$ sont bien connus. Ainsi $BS(1, 1)$ est le groupe abélien libre sur deux generateurs, et $BS(1, -1)$ est le groupe fondamental de la bouteille de Klein.

Les groupes ont été définis par Gilbert Baumslag et Donald Solitar en 1962^[1] en vue de fournir des exemples de groupes non hopfiens. Ils comprennent des groupes résiduellement finis, des groupes hopfiens qui ne sont pas résiduellement finis, et des groupes non hopfiens.

Propriétés modifier

${\text{BS}}(m,n)$ est résiduellement fini si et seulement si $|m|=|n|$ ou $|m|=1$ ou $|n|=1$ ^[2].

${\text{BS}}(m,n)$ est hopfien si et seulement s’il est résiduellement fini ou si $m$ et $n$ ont même ensemble de diviseurs premiers. Il est relativement simple de prouver qu’un groupe finiment engendré et résiduellement fini est hopfien.

Le plus connu des groupes est ${\text{BS}}(2,3)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{2}a=b^{3}\right\rangle$ . Il n'est pas hopfien ; l’application $a\to a,b\to b^{2}$ est en effet un épimorphisme qui n’est pas un isomorphisme. Il est en effet facile de vérifier que $(b^{-1}a^{-1}ba)(b^{-1}a^{-1}ba)b^{-1}$ est dans le noyau du morphisme puisque son image est $(b^{-2}a^{-1}b^{2}a)^{2}b^{-2}=(b^{-2}b^{3})^{2}b^{-2}=1$ .

Les groupes de Baumslag-Solitar se répartissent en trois familles : ceux qui sont résiduellement finis, ceux qui sont hopfiens sans être résiduellement finis et ceux qui ne sont pas hopfiens. La différence est plus marquée en fonction des paramètres : ceux pour lesquels $|m|=1$ ou $|n|=1$ d'une part, et ceux pour lesquels $|m|,|n|\neq 1$ d'autre part.

Le cas $m = 1$ modifier

Pour un groupe

{\text{BS}}(1,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}ba=b^{n}\right\rangle

il y a un homomorphisme évident sur le groupe cyclique infini en posant $b=1$ , et on peut montrer que son noyau est isomorphe au groupe additif des nombres rationnels $n$ -adiques. Ainsi, ces groupes sont métabéliens et ont des propriétés de structure fortes ; en particulier, ils n’ont pas de sous-groupe libre de rang 2. De plus, les éléments de ces groupes possèdent des formes normales particulièrement simples : tout élément est représenté de manière unique sous la forme $a^{i}b^{k}a^{-j}$ , avec $i,j\geq 0$ et si de plus $i,j>0$ , alors $k$ n’est pas divisible par $n$ . Quand $|m|,|n|\neq 1$ , il existe toujours une forme normale parce que les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples, et de fait les exemples les plus simples, d’extensions HNN. Il en résulte la propriété suivante :

Soit

w

un mot librement réduit de

{\text{BS}}(m,n)

qui représente l’élément unité. Alors

w

a un facteur de la forme

a^{-1}b^{k}a

avec

m|k

, ou

ab^{k}a^{-1}

avec

n|k

.

Ceci démontre que, dans ${\text{BS}}(2,3)$ , le mot

b^{-1}a^{-1}bab^{-1}a^{-1}bab^{-1}

ne représente pas l’unité, et peut aussi servir à montrer que, lorsque $|m|,|n|\neq 1$ , alors ${\text{BS}}(m,n)$ contient un sous-groupe libre de rang deux.

Notes et références modifier

↑ Gilbert Baumslag et Donald Solitar, « Some two-generator one-relator non-Hopfian groups », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 68,‎ 1962, p. 199-201 (MR 0142635, lire en ligne, consulté le 20 juillet 2018).
↑ Stephen Meskin, « Non-residually finite one-relator groups », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 64,‎ 1972, p. 105–114 (MR 285589).

Bibliographie modifier

Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov et Georg Zetzsche, « Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups », dans Artur Czumaj Anuj Dawar Emanuela Merelli (éditeurs), Actes de ICALP 2020, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, coll. « LIPIcs » (n^o 168), 2020 (DOI 10.4230/LIPIcs.ICALP.2020.116, arXiv 2006.11898 (version détaillée), lire en ligne), p. 116:1-116:16
Margot Bouette, Sur la croissance des automorphismes des groupes de Baumslag-Soliltar, Thèse, université de Rennes I, 2016 (lire en ligne).
(en) Donald J. Collins, « Baumslag–Solitar group », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Articles liés modifier

Portail des mathématiques

[1] Gilbert Baumslag et Donald Solitar, « Some two-generator one-relator non-Hopfian groups », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 68,‎ 1962, p. 199-201 (MR 0142635, lire en ligne, consulté le 20 juillet 2018).

[2] Stephen Meskin, « Non-residually finite one-relator groups », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 64,‎ 1972, p. 105–114 (MR 285589).

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