Groupe caractéristiquement simple

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, un groupe est dit caractéristiquement simple s'il n'a pas d'autre sous-groupe caractéristique que lui-même et son sous-groupe réduit à l'élément neutre. Certains auteurs expliquent de plus qu'un groupe caractéristiquement simple est par définition non réduit à l'élément neutre, mais nous ne les suivrons pas ici.

Quelques faits

• Tout groupe simple est caractéristiquement simple.

  Cela se déduit facilement du fait que tout sous-groupe caractéristique d'un groupe en est sous-groupe normal. On verra plus loin qu'un groupe caractéristiquement simple n'est pas forcément simple.

• Tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est caractéristiquement simple.

  Cela se déduit facilement du fait que tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est sous-groupe normal de G.

• Soient G un groupe caractéristiquement simple et H un sous-groupe normal minimal de G. On démontre que H est simple et que G est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de groupes simples tous isomorphes à H (et que cette famille peut être choisie telle qu'elle comprenne H).

  Pour démontrer ce théorème dans toute sa généralité, on recourt au lemme de Zorn. Dans le cas où G est fini, on peut se passer du lemme de Zorn.

• Tout groupe caractéristiquement simple admettant au moins un sous-groupe normal minimal est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de groupes simples tous isomorphes entre eux.

  Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent.

• Tout groupe fini caractéristiquement simple est produit direct d'une famille (finie) de groupes simples tous isomorphes entre eux.

  En effet, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal minimal et il suffit d'appliquer l'énoncé précédent.

• Si un groupe résoluble fini est caractéristiquement simple, c'est un groupe abélien élémentaire, c'est-à-dire le produit direct d'une famille finie de groupes tous isomorphes à un même groupe Z/pZ, p étant un nombre premier.

  Cela résulte de l'énoncé précédent, car un sous-groupe simple d'un groupe résoluble est à la fois simple et résoluble, et est donc un groupe d'ordre premier.

  L'énoncé ci-dessus est utilisé dans la démonstration du théorème de Philip Hall sur l'existence des sous-groupes de Hall dans les groupes résolubles finis.

• Un groupe infini caractéristiquement simple n'est pas forcément somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes simples.

  Par exemple, le groupe additif $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels est caractéristiquement simple (on le montre facilement en notant que, pour tout nombre rationnel q non nul, $x\mapsto qx$ définit un automorphisme de $\mathbb {Q}$), mais $\mathbb {Q}$ n'est pas somme restreinte de sous-groupes simples, car il n'a pas de sous-groupes simples. En effet, puisque $\mathbb {Q}$ est abélien, un sous-groupe simple de $\mathbb {Q}$ serait simple et abélien, donc serait fini, or le seul élément d'ordre fini de $\mathbb {Q}$ est 0.

• Il est démontré que tout groupe qui est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de groupes simples isomorphes entre eux est caractéristiquement simple.

Il résulte clairement de chacun des deux derniers énoncés qu'un groupe caractéristiquement simple n'est pas forcément simple.