Graphe maison

Graphe maison
Représentation du graphe maison.

Nombre de sommets	5
Nombre d'arêtes	6
Distribution des degrés	2 (3 sommets) 3 (2 sommets)
Rayon	2
Diamètre	2
Maille	3
Automorphismes	2 (Z/2Z)
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	3
Propriétés	Hamiltonien Parfait Planaire
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Le graphe maison est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 6 arêtes. Il peut être construit à partir de deux graphes cycles, C₃ et C₄, en leur faisant partager une arête. Sa représentation la plus commune le fait ressembler au dessin naïf d'une maison, d'où son nom employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions)^[1].

Propriétés modifier

Propriétés générales modifier

Le diamètre du graphe maison, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 2-sommet-connexe et d'un graphe 2-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 2 sommets ou de 2 arêtes.

Coloration modifier

Le nombre chromatique du graphe maison est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe maison est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe maison. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 5 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : $(x-2)(x-1)x(x^{2}-3x+3)$ .