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Géométrie absolue

La géométrie absolue (parfois appelée géométrie neutre) est une géométrie basée sur le système d'axiomes de la géométrie euclidienne, privé de l'axiome des parallèles ou de sa négation. Elle est formée des résultats qui sont vrais à la fois en géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique, parfois énoncés sous une forme affaiblie par rapport à l'énoncé euclidien traditionnel.

Historique modifier

La géométrie absolue fut introduite (sous ce nom) par János Bolyai en 1832[1] ; le terme de géométrie neutre (sous-entendu par rapport à l'axiome des parallèles) lui a été parfois préféré, pour éviter de donner l'impression que toute autre géométrie en découle[2]. Historiquement, faire de la géométrie absolue voulait dire n'utiliser que les quatre premiers postulats d'Euclide, mais cet ensemble a été complété par plusieurs autres auteurs, obtenant par exemple le système des axiomes de Hilbert ; c'est à ce dernier système, privé de l'axiome des parallèles, que se réfère actuellement cette géométrie[3].

Propriétés modifier

On pourrait penser que privée de l'axiome des parallèles, la géométrie absolue forme un système assez pauvre, mais ce n'est nullement le cas : de très nombreuses propriétés non évidentes de la géométrie euclidienne restent vraies, par exemple le fait que les bissectrices intérieures d'un triangle se coupent en un point, centre du cercle inscrit à ce triangle, ou sont encore vraies en en appauvrissant plus ou moins l'énoncé : la somme des angles d'un triangle est inférieure ou égale à 180° ; si deux médiatrices d'un triangle se coupent, les trois médiatrices sont concourantes au centre du cercle circonscrit ; de même, si deux hauteurs se coupent, les trois hauteurs sont concourantes en l'orthocentre[4]. D'ailleurs, même sans l'axiome des parallèles, il est facile de montrer que deux droites perpendiculaires à une même troisième ne se rencontrent pas, et donc que des parallèles existent toujours (ce qui prouve que la géométrie elliptique n'est pas une géométrie absolue)[5].

Relation aux autres géométries modifier

Les théorèmes de la géométrie absolue sont ceux qui sont vrais à la fois en géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique[6]. En revanche, elle est incompatible sous cette forme avec la géométrie elliptique, où deux droites quelconques sont concourantes ; des modifications ont été parfois apportées à ce système d'axiomes pour obtenir une géométrie couvrant les trois cas[7].

Inversement, la géométrie de l'ordre (en) est plus pauvre que la géométrie absolue, et d'ailleurs aussi que la géométrie affine, qui admet l'axiome des parallèles, mais pas les axiomes d'Euclide concernant les distances et les angles[8].

Un plan qui satisfait les axiomes de Hilbert d'incidence, d'ordre et de congruence est appelé un plan de Hilbert[9] ; les plans de Hilbert sont des modèles de la géométrie absolue[10].

Voir aussi modifier

Notes et références modifier

  1. ↑ Dans "Appendix exhibiting the absolute science of space: independent of the truth or falsity of Euclid's Axiom XI (by no means previously decided)" (Faber 1983, pg. 161)
  2. ↑ Greenberg cite W. Prenowitz et M. Jordan (Greenberg, p. xvi) pour avoir utilisé le terme « géométrie neutre » pour désigner cette partie de la géométrie euclidienne qui ne dépend pas de l'axiome des parallèles. Il prétend que le mot absolu dans géométrie absolue implique de manière trompeuse que toutes les autres géométries en dépendent.
  3. ↑ Faber 1983, pg. 131
  4. ↑ Cependant, même si ces deux points existent, ils ne sont pas alignés, en général, avec le centre de gravité du triangle ; voir (en) l'analyse numérique de ces questions dans le modèle du disque de Poincaré.
  5. ↑ Greenberg 2007, p. 163
  6. ↑ En effet, la géométrie absolue est en fait l'intersection de la géométrie hyperbolique et de la géométrie euclidienne lorsque celles-ci sont considérées comme des ensembles de propositions.
  7. ↑ (en) G. Ewald, Geometry: An Introduction, Wadsworth,
  8. ↑ Coxeter 1969, pp. 175–6
  9. ↑ Hartshorne 2005, p.97
  10. ↑ Greenberg 2010, p.200

Bibliographie modifier

  • (en) H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, New York, John Wiley & Sons,
  • (en) Richard L. Faber, Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York, Marcel Dekker, (ISBN 0-8247-1748-1)
  • (en) Marvin Jay Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, New York, W. H. Freeman, (ISBN 0-7167-9948-0)
  • (en) Marvin Jay Greenberg, « Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries », Mathematical Association of America Monthly, vol. 117,‎ , p. 198–219 (lire en ligne)
  • (en) Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, New York, Springer-Verlag, (ISBN 0-387-98650-2)
  • (en) Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

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