Formule de Grassmann

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, la formule de Grassmann exprime la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel. Plus précisément :

Formule de Grassmann — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E. Alors

$\dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).$

Si F et G sont de dimensions respectives finies, il en résulte que F + G aussi et que

$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$

Deux démonstrations

• Les applications linéaires suivantes :$0\to F\cap G\to F\times G\to F+G\to 0,$où la deuxième application est $x\mapsto (x,x)$ et la troisième $(x,y)\mapsto x-y$, forment une suite exacte courte. Par conséquent, d'après le théorème du rang (même en dimension infinie) :$\dim(F\cap G)+\dim(F+G)=\dim(F\times G).$La formule de Grassmann en résulte puisque dim(F×G) = dim(F) + dim(G).
• Une autre idée est de remarquer l'analogie de cette formule avec la suivante (valide même pour des ensembles infinis) et de l'en déduire :${\text{card}}(A)+{\text{card}}(B)={\text{card}}(A\cup B)+{\text{card}}(A\cap B).$Il suffit en effet, pour identifier terme à terme cette équation avec$\dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G),$de choisir une base $C$ de $F\cap G$ et de la compléter en une base $A$ de $F$ d'une part et en une base $B$ de $G$ d'autre part : $A\cup B$ sera alors une base de $F+G$ et $A\cap B$ sera égal à la base $C$ de $F\cap G.$

Références

• (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], proposition 6.9, p. 103.
• (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 92, exercice 6.

Article connexe

Deuxième théorème d'isomorphisme