Fonction exponentielle de base réelle variable

La fonction de base réelle variable $x^{x}$ est une fonction spéciale exponentielle de base variable x qui possède des propriétés spéciales.

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Définition

Soit $f\in \mathbb {R_{+}^{*}} ^{\mathbb {R_{+}^{*}} }$ une fonction définie par : $x\mapsto x^{x}$ . On appelle cette fonction exponentielle de base réelle variable.

$f(x)=x^{x}=e^{x\ln x}$

On peut prolonger $f$ sur $\mathbb {Z_{-}^{*}}$ .

Valeur de 0⁰

La forme indéterminée $0^{0}$ est conventionnellement fixée à 1. Une illustration de cette convention peut être le prolongement par la limite en 0⁺ de $f$ .

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}{e^{x\ln x}}$ . Par croissance comparée : $\lim _{x\to 0^{+}}{e^{x\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}{e^{x}}=1$ .

Minimum

La fonction exponentielle de base réelle variable admet un minimum.

Calculons sa dérivée :

$(x^{x})^{\prime }=\exp({x\ln x})^{\prime }=(x\ln x)^{\prime }\exp(x\ln x)=(\ln x+1)\exp(x\ln x)$ .

Or, $\exp(x\ln x)$ est strictement positif sur $\mathbb {R_{+}^{*}}$ et $(\ln x+1)>0\Longrightarrow x>{\frac {1}{e}}$ .

Ainsi, la dérivée change de signe en ${\frac {1}{e}}$ , ce faisant que $f$ est strictement décroissante sur $]1;{\frac {1}{e}}]$ et strictement supérieure sur $]{\frac {1}{e}};+\infty [$ . Le minimum est donc atteint en ${\frac {1}{e}}$ et vaut ${\frac {1}{e}}^{\frac {1}{e}}\approx 0,6922\pm 0,6901$