Fonction Q de Marcum

En statistique, la fonction Q de Marcum $Q_{M}$ est définie comme

$Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx$

ou comme

$Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)$

où $I_{M-1}$ désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre M − 1. La fonction Q de Marcum est utilisée par exemple comme fonction de répartition (plus précisément, comme fonction de survie) pour les lois du χ non centré, de χ² non centré et de Rice.

Pour les valeurs non entières de M, la fonction Q de Marcum peut être définie comme

${\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}$

où $P(s,x)$ est la fonction gamma incomplète.

La fonction Q de Marcum est monotone et log-concave .

Références

• Marcum, J. I. (1950) "Table of Q Functions". U.S. Air Force RAND Research Memorandum M-339. Santa Monica, CA: Rand Corporation, Jan. 1, 1950.
• Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the Q_M Function, IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 95–96, (ISSN 0018-9448)
• (en) Eric W. Weisstein, « Marcum Q-Function », sur MathWorld