Famille intersectante

En mathématiques, une famille intersectante sur un ensemble E est une famille de parties de E deux à deux non disjointes, c'est-à-dire telle que l'intersection de deux quelconques de ces parties soit non vide.

Exemples

• Si n < 2r, les parties de l'ensemble {1, 2, … , n} qui ont un cardinal supérieur ou égal à r forment une famille intersectante sur cet ensemble (et sur tout sur-ensemble).
• Toute sous-famille d'une famille intersectante est intersectante.
• Tout filtre est une famille intersectante.

Propriétés

• Le cardinal d'une famille intersectante sur un ensemble à n éléments est trivialement inférieur ou égal à 2^{n – 1}.
• Une famille intersectante à n éléments maximale (dont la cardinalité est 2^{n – 1}) est une section commençante et l'ensemble des compléments des éléments de la famille forme une section finissante.
• On appelle k-famille intersectante une famille intersectante dont toutes les parties ont k éléments. Le théorème d'Erdős-Ko-Rado précise le cardinal maximum d'une k-famille intersectante, sur un ensemble à n éléments.
• D'après un théorème de Daniel Kleitman, la réunion de m familles intersectantes, sur un ensemble à n éléments, contient au plus 2ⁿ – 2^{n – m} parties.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Schnittfamilie » (voir la liste des auteurs).