Exemple de Lewy

En mathématiques, l'exemple de Lewy est un exemple célèbre, dû à Hans Lewy, d'une équation aux dérivées partielles linéaire qui n'admet pas de solutions au sens des distributions, même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux.

Ce résultat est à mettre en contraste avec d'une part le théorème de Cauchy-Kowalevski qui montre qu'une équation aux dérivées partielles linéaire ayant des coefficients et un terme source analytiques admet au moins une solution et d'autre part le théorème de Malgrange-Ehrenpreis qui affirme que toute équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants admet au moins une solution.

L'exemple

Le résultat de Lewy est le suivant:

Dans $\mathbb {R} \times \mathbb {C}$, il existe une fonction lisse à valeurs complexes $F(t,z)$ telle que l'équation

${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)$

n'admet pas de solutions sur n'importe quel ouvert.

Notons que si $F$ était analytique, le théorème de Cauchy-Kowalevski impliquerait l'existence d'une solution.

Lewy construit une telle fonction $F$ en utilisant le résultat suivant:

Dans $\mathbb {R} \times \mathbb {C}$, supposons que $u(t,z)$ soit une fonction telle que, dans un voisinage de l'origine,

${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=\phi ^{\prime }(t)$

pour une certaine fonction $\phi$ de classe ${\mathcal {C}}^{1}$. Alors $\phi$ est nécessairement analytique réelle dans un voisinage (possiblement plus petit) de l'origine.

Sigeru Mizohata (en) a montré plus tard que l'équation encore plus simple

${\frac {\partial u}{\partial x}}+ix{\frac {\partial u}{\partial y}}=F(x,y)$

qui ne dépend que de deux variables réelles $x$ et $y$ n'a parfois aucune solution. Il est remarquable que cette équation est l'une des plus simples parmi les équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients non constants.

Références

• Hans Lewy, « An example of a smooth linear partial differential equation without solution », Annals of Mathematics, vol. 66, n^o 1,‎ 1957, p. 155–158 (DOI 10.2307/1970121, JSTOR 1970121, MR 0088629, zbMATH 0078.08104).
• Sigeru Mizohata, « Solutions nulles et solutions non analytiques », Journal of Mathematics of Kyoto University, vol. 1, n^o 2,‎ 1962, p. 271–302 (MR 142873, zbMATH 0106.29601, lire en ligne).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lewy's example » (voir la liste des auteurs).