Espace vectoriel symplectique

En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même.

Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique. Ces dernières sont le cadre naturel de la mécanique hamiltonienne.

Un espace vectoriel préhilbertien complexe est automatiquement muni d'une structure symplectique en tant qu'espace vectoriel réel. En termes de variétés, l'analogue est la notion de variété kählérienne.

Définition modifier

Soit   un espace vectoriel sur le corps des réels (le cas général sera présenté ci-dessous). Une forme symplectique sur   est une forme bilinéaire alternée et non dégénérée  , i.e. :

  • on a le caractère alterné  
qui est parfois remplacé par l'antisymétrie:   (ces deux propriétés sont équivalentes) ;
  • et la non-dégénérescence:  .

Un espace vectoriel symplectique   est un espace vectoriel   muni d'une forme symplectique  .

Deux vecteurs   sont dits (symplectiquement) orthogonaux lorsque  . Par caractère alterné de  , tout vecteur   de   est orthogonal à lui-même.

Proposition : Tout espace vectoriel symplectique de dimension finie est de dimension réelle paire.

L'espace vectoriel symplectique standard modifier

L'espace vectoriel symplectique de référence est l'espace   où, en base canonique  , la forme symplectique   vérifie les relations

 
 .

La représentation matricielle de la forme symplectique standard est alors :

 

  désigne la matrice identité de taille  .

Il y a en quelque sorte des directions couplées : chaque   est orthogonal à tous les vecteurs de base sauf  .

Une variante du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de montrer que tout espace vectoriel symplectique de dimension finie possède une telle base, à laquelle on donne en général le nom de base de Darboux.

Sous-espaces vectoriels modifier

Soit   un espace vectoriel symplectique. Soit   un sous-espace vectoriel de  . Le perpendiculaire (symplectique) de   est par définition le sous-espace vectoriel

 .

Le sous-espace vectoriel   est dit :

  • symplectique si  
  • isotrope si  
  • coïsotrope si  
  • lagrangien si  

Tout sous-espace vectoriel lagrangien   de   est :

  • (maximal) isotrope
  • (minimal) coïsotrope
  • de dimension la moitié celle de  .

Espace symplectique sur un corps quelconque modifier

La définition des espaces symplectiques s'étend sans changement à tout corps de caractéristique différente de 2. En caractéristique 2, il n'y a plus équivalence entre les caractères alterné et antisymétrique.

Références modifier