Espace vectoriel conjugué

En algèbre linéaire, l'espace vectoriel conjugué d'un espace vectoriel complexe est un nouvel espace vectoriel obtenu en modifiant la définition du produit par les scalaires.

Définition

Soit $(E,+,\cdot )$ un espace vectoriel sur le corps ℂ des nombres complexes. On appelle espace vectoriel conjugué de $(E,+,\cdot )$, l'ensemble E muni de la même opération d'addition + et du produit par les scalaires $\star$ défini par :

$\star :(\lambda ,u)\in \mathbb {C} \times E\mapsto \lambda \star u={\overline {\lambda }}\cdot u$

où λ désigne le conjugué du nombre complexe λ.

Le triplet $(E,+,\star )$ est également un espace vectoriel complexe, appelé conjugué de $(E,+,\cdot )$ et de même dimension sur ℂ.

Notation

Comme il est usuel par abus de notation de désigner une structure mathématique par l'ensemble sous-jacent, si l'on retient la notation E comme raccourci de $(E,+,\cdot )$, il est pratique de désigner par E l'espace vectoriel $(E,+,\star )$. On se convaincra sans mal que ${\overline {\overline {E}}}=E.$

On peut par ailleurs définir l'opération formelle de conjugaison qui associe à $v\in E$ l'élément ${\overline {v}}\in {\overline {E}}$ (en fait le même objet, mais envisagé comme membre d'un espace vectoriel différent). Par un abus supplémentaire de notation, l'opération de produit par les scalaires dans E peut alors être notée avec le même symbole « ∙ » (la nature des vecteurs indique alors l'opération à considérer). On a ainsi :

• $\forall (\lambda ,v)\in \mathbb {C} \times E\quad {\overline {\lambda \cdot v}}={\overline {\lambda }}\cdot {\overline {v}},$
• $\forall v\in E\quad {\overline {\overline {v}}}=v.$

L'opération de conjugaison de E dans E est l'exemple canonique d'application antilinéaire.

Application linéaire conjuguée

Toute application linéaire f : V → W induit une application linéaire conjuguée f : V → W, définie par la formule :

${\overline {f}}({\overline {v}})={\overline {\,f(v)\,}}.$

De plus, la conjuguée de l'identité de V est l'identité de V, et quelles que soient les applications linéaires f et g composables, on a :

${\overline {f}}\circ {\overline {g}}={\overline {f\circ g}}.$

Ainsi, la conjugaison (V ↦ V, f ↦ f) est un foncteur covariant, de la catégorie des espaces vectoriels complexes dans elle-même.

Si V et W sont de dimensions finies et si f est représentée par une matrice A dans un couple de bases (ℬ, 𝒞) de (V, W), alors f est représentée, dans les bases (ℬ, 𝒞), par la matrice conjuguée A.

Produit hermitien

Un produit hermitien sur E, défini comme forme sesquilinéaire sur E, c'est-à-dire antilinéaire à gauche et linéaire à droite (ou inversement suivant les auteurs), peut également être défini comme une forme bilinéaire sur E × E.

Si E est un espace de Hilbert, alors E est canoniquement isomorphe à E', le dual topologique de E. Autrement dit :

$\forall \phi \in E'\quad \exists !{\overline {u}}\in {\overline {E}}\quad ({\bar {u}}|v)=\langle \phi ,v\rangle =\phi (v)$

où $(\cdot |\cdot )$ désigne le produit hermitien de E et $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ le crochet de dualité.

Article connexe

Représentation conjuguée

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Complex conjugate vector space » (voir la liste des auteurs).