Drapeau (mathématiques)

En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

\{0\}=E_{0}\subsetneq E_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq E_{k-1}\subsetneq E_{k}=E.

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces E_i forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :

0=d_{0}<d_{1}<\dots <d_{k-1}<d_{k}=n.

Si d_i = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.

Base adaptée à un drapeau modifier

À toute base (e₁, …, e_n) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total dont les termes sont constitués des espaces successivement engendrés : $E_{1}={\rm {Vect}}(e_{1}),\ E_{2}={\rm {Vect}}(e_{1},e_{2}),\ldots$

Exemple : si E est l'espace ℝ_m[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, X², …, X^m) et sa dimension est n = m + 1. L'espace E₀ = {0} et les espaces E_{i + 1} = ℝ_i[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs e_i tels que e_i appartient à E_i mais pas à E_{i – 1}.

Drapeau stable par un endomorphisme modifier

Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque E_i est stable par u : $\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,u(E_{i})\subset E_{i}.$

Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace ℝ_m[X] et le drapeau formé des espaces ℝ_i[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P), etc.

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux modifier

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

Les drapeaux dans le cadre euclidien modifier

Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.

Voir aussi modifier

Articles connexes modifier

Bibliographie modifier

(en) I. R. Shafarevich et A. O. Remizov, Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, 526 p. (ISBN 978-3-642-30993-9, lire en ligne)