Discussion:Trigonométrie sphérique

Arc de grand cercle

Salut ! L'un(e) des utilisateurs VIGNERON m'a contacté sur ma page de discussion au sujet de la Trigonométrie sphérique. J'avais cru bon de modifier un passage par "arc de grand cercle". Mon correspondant s'en étonne. De ma part c'était uniquement de mémoire. Un "matheux" plus qualifié que moi pourrait-il trancher ? D'avance merci. Erasmus 25 fev 2005 à 17:12 (CET)

Lacunes historiques

Aucun nom propre (ni date !) de mathématicien indien ou arabe ne figure dans cet article... J'ajoute donc quelques lignes, mais je ne suis pas un expert en histoire des mathématiques...

82.224.158.54 14 juillet 2005 à 17:39 (CEST)

Arc de grand cercle

Bonjour !L'un(e) des utilisateurs VIGNERON demande un avis. Les "arcs de grand cercles" = des parties circonférence de de la sphère forment un "triangle sphérique" (polygone convexe), inscrit dans un cercle,Ce dernier est traçé sur la surface de la shère, donc plus petit.

(à vérifier ne suis pas un expert en maths) --81.245.87.74 19 novembre 2006 à 12:39 (CET) Robin

Erreur

Bonjour,

A ma connaissance, il est indispensable de spécifier que tous les triangles considérés sont construits sur des arcs de grands cercles(c'est ce qu'on appelle des triangles sphériques), sans quoi tout est faux(considérer un triangle arbitrairement petit pour se convaincre que la formule de Girard, dont il faudrait rajouter le nom, n'est pas valable pour des 'triangles' quelconques). C'est écrit très vaguement dans l'introduction mais cela mérite plus de clarté. Je ne m'y connais pas bien en mise en page wikipedia, mais si personne ne corrige, je reviendrai le faire sous très très peu — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.238.72.3 (discuter), le 28 juin 2009.

Bonjour, je ne comprends pas votre remarque. Sur quoi d’autres ces triangles pourraient-ils être construits ? rv¹⁷²⁹ 29 juin 2009 à 16:36 (CEST)

Aire du triangle sphérique

Les trois plans qui définissent un triangle sphérique coupent la sphère selon huit secteurs [...] J'en compte douze : quatre par sommet. Et on ne somme pas les aires de tous ces secteurs, seulement la moitié : les aires des trois secteurs qui contiennent le triangle sphérique et des secteurs diamétralement opposés. Me trompé-je ? Matematikour --92.129.37.86 (d) 13 novembre 2010 à 12:37 (CET)

Non. Mettons que l'un des triangle soit centré au pôle nord, l'autre au pôle sud, chaque côté du triangle nord et le sommet sud correspondant donne un secteur, de même chaque côté sud et le côté nord correspondant. En rajoutant les deux triangles, cela fait huit secteurs (si tu n'es pas rassuré, pèle une orange). Legendre nomme lune les quartiers entiers découpé par deux plans. On somme donc trois double-lunes, qui respectivement ont pour aire 4Â, 4B, 4C (c'est proportionnel à l'angle et vaut 4pi, si A=Pi). On recouvre ainsi toute la sphère mais six fois les triangles (qui ont même aire) soit 4 fois trop d'Aire des triangles. On obtient donc 4(A+B+C)=4pi+4Aire, d'où il vient l'Aire=pi-(A+B+C). Jean ^{[de Parthenay]} 13 novembre 2010 à 15:52 (CET)

Merci pour ton explication. En lisant la phrase : « Les trois plans qui définissent un triangle sphérique coupent la sphère selon huit secteurs, et on voit aisément que la somme de leurs aires est celle de la sphère augmentée quatre fois de celle du triangle. » j'avais déduit à tort que les secteurs dont on parle dans l'article étaient les quartiers que Legenfre nomme lunes. J'avais donc compté 12 lunes alors qu'il y a bien 8 secteurs. Mais alors, si l'on somme les aires des huit secteurs comme cela est dit dans la phrase citée, on obtient exactement l'aire de la sphère. Et si l'on dit que l'on somme les aires des lunes il faudrait préciser lesquelles. Me trompé-je encore ? Matematikour --92.129.37.86 (d) 13 novembre 2010 à 20:20 (CET)

Si tu nommes A,B,C les sommets d'un triangle, A',B',C', les sommets opposés, les lunes sont 1) ABC de sommet B, d'arêtes contenant pour l'une BA et pour l'autre BC, puis A'BC', ACB, A'CB', BAC, B'AC' faites de même. Tu obtiens 6 lunes qui découpent la sphère et en font un recouvrement mais en comptant 3 fois le triangle ABC et 3 fois le triangle A'B'C', de même aire. Chaque lune est d'aire double de l'angle à son sommet. On trouve ainsi le résultat. Me suis-je exprimé avec clarté ? Jean ^{[de Parthenay]} 14 novembre 2010 à 11:55 (CET)

C'est très clair, j'avais compris et je suis d'accord. Par contre l'article dit tout autre chose et ce qui est dit me semble faux. Il est dit que l'on somme les 8 secteurs, avec tes notations ce sont les 8 triangles ABC, ABC', ACB', AC'B', BCA', BA'C', CA'B' et A'B'C'. Il n'est dit nulle part que l'on somme 3 doubles lunes, ni lesquelles. Toujours avec tes notations les 12 lunes obtenues en coupant la sphère par deux plans tour à tour sont :

• les 3 qui contiennent le triangle ABC : ABA'C ; BCB'A et CAC'B ;
• les 3 qui contiennent le triangle A'B'C' : AB'A'C' ; BC'B'A' et CA'C'B' ;
• et les 6 qui ne contiennent ni ABC, ni A'B'C' : ABA'C' ; AB'A'C ; BCB'A' ; BAB'C' ; CAC'B' et CBC'A'.

Ce sont les aires des six premières lunes qu'il faut sommer. Il serait bon de corriger l'article qui est manifestement faux.

Cordialement. Matematikour --92.129.37.86 (d) 14 novembre 2010 à 15:59 (CET)

Manifestement faux ??? Pourtant : 1) La formule de Girard est correcte 2) Le texte de l'article l'est nécessairement aussi. Du coup, la seule chose, en effet, à corriger, est le "on voit aisément que la somme de leurs aires..." Mais si ce n'est pas forcément aisé, c'est indiscutablement exact--Dfeldmann (d) 14 novembre 2010 à 17:01 (CET)

J'ai corrigé secteur en partie. Pour moi, cela suffit ; et ôté cet "aisément", qui n'est pas évident pour tout le monde... désolé.Jean ^{[de Parthenay]} 14 novembre 2010 à 17:55 (CET)

Au risque de paraître grossier je vais insister. Je me demande qui peut voir "aisément" qu'en coupant une sphère en huit parties puis en sommant les aires de ces huit parties (c'est ce qui est écrit) on obtient plus que l'aire de la sphère. Cordialement, Matematikour. --92.129.37.86 (d) 16 novembre 2010 à 17:15 (CET)

Oui, c'est peut-être à rerédiger. Ce qui est vrai, c'est qu'il y a 8 secteurs, lesquels se chevauchent, d'où le résultat.--Dfeldmann (d) 16 novembre 2010 à 18:58 (CET)

Sphère coupée par trois plans en huit triangles : ABC, ABC', ACB', AC'B', BCA', BA'C', CA'B' et A'B'C',
ou en douze fuseaux se chevauchant : ABA'C ; BCB'A ; CAC'B ; AB'A'C' ; BC'B'A' ; CA'C'B' ; ABA'C' ; AB'A'C ; BCB'A' ; BAB'C' ; CAC'B' et CBC'A'.

Désolé mais c'est faux : les huits secteurs (triangles) ne se chevauchent pas. Cela se voit aisément sur la figure ci-contre. Cordialement, Matematikour. --92.129.37.86 (d) 16 novembre 2010 à 23:46 (CET)

il y a six lunes, qui découpent huit parties, dont 2 (les triangles) comptées 3 fois chacune (mais les autres 1 seule fois). Plutôt que chevaucher, disons qu'elles coïncident ? Le mieux serait d'avoir un dessin 3d, pouvant se regarder sous toutes les coutures, en coloriant les lunes en bleu, jaune, rouge, vert, orange et violet... apparaîtrait alors les huit parties, et cela deviendrait évident. Mais au risque de paraître insistant, je crois qu'il suffit de prendre une orange et un couteau et de numéroter les parties. Si on matérialise la sphère, il n'y a pas de difficulté. Et je ne m'excuserai pas de penser que ce se voit aisément. Jean ^{[de Parthenay]} 16 novembre 2010 à 22:40 (CET)

Je pense que la figure ci-contre va aider à voir ce dont on parle. Quand tu comptes six lunes (je préfère dire six fuseaux) tu en oublies six autres, peut-être n'est-il pas aisé de les voir. J'en ai dressé la liste plus haut. Chaque fuseau est constitué de deux triangles : les parties ou secteurs obtenus en coupant la sphère par trois plans diamétraux. J'en ai aussi dressé la liste plus haut. Il faut sommer les aires des six fuseaux qui contiennent soit ABC, soit A'B'C' (ce sont les six lunes dont tu parles) et laisser de côté les six autres. Si l'on se contente de dire sommer les aires des huit parties, ou sommer les aires des six lunes, c'est beaucoup trop vague (pour ne pas dire plus). Il faut être précis et exact. Cordialement, Matematikour. --92.129.37.86 (d) 16 novembre 2010 à 23:46 (CET)

Encore un petit effort, et ça vient : Il ne faut considérer que les 6 fuseaux ("lunes" historiquement) suivants : 2 de sommets A et A' nommément ABA'C et AB'A'C', 2 de sommets B et B' ,2 de sommets C et C', (mutatis mutandis) d'une part. Ils recouvrent la sphère en les huit triangles dont tu parles (les initiaux comptés trois fois, les autres une fois) et tu as la bonne figure. Bravo. Les 6 autres fuseaux ne servent pas. Si tu améliores la figure (les angles sont un peu gros et les couleurs criardes) en mettant bien en évidence ces secteurs, ça pourrait faire une bonne illustration. Jean ^{[de Parthenay]} 17 novembre 2010 à 00:30 (CET)

Oui nous avançons. Je récapitule les points sur lesquels nous sommes d'accord :

1. les trois plans qui définissent un triangle sphérique coupent la sphère en huit parties et ces huit parties sont des triangles ;
2. ces plans pris deux à deux découpent la sphère en quatre fuseaux, il y a donc douze fuseaux au total ;
3. pour continuer la démonstration, on somme les aires des six fuseaux contenant soit le triangle dont on cherche calculer l'aire, soit le triangle diamétralement opposé (nous sommes même d'accord sur leurs noms ; tu les as nommés dans ton intervention du 17 novembre 2010 à 00:30, et moi dans la mienne du 14 novembre 2010 à 15:59) ;
4. le calcul de la somme des aires de ces six fuseaux conduit ensuite sans problème à la formule de l'aire d'un triangle sphérique.

Nous pouvons maintenant passer aux points de désaccord, c'est-à-dire le point b) de la démonstration tel qu'il est rédigé dans l'article : « Les trois plans qui définissent un triangle sphérique coupent la sphère en huit parties, et l'on voit que la somme de leurs aires est celle de la sphère augmentée quatre fois de celle du triangle » :

1. la seconde partie de la phrase est fausse, la somme des aires de ces huit triangles est exactement celle de la sphère (voir la figure plus haut) ; d'où ma question du 16 novembre 2010 à 17:15 « qui peut voir "aisément" qu'en coupant une sphère en huit parties puis en sommant les aires de ces huit parties (c'est ce qui est écrit) on obtient plus que l'aire de la sphère » ;
2. le choix des aires à sommer est le point clé de la démonstration, le reste n'étant que du calcul, il faut donc expliquer clairement dans l'article que l'on somme les aires de six fuseaux et de préciser lesquels puisqu'il y en a douze en tout ; c'est ce que j'avais fait dans ma première intervention du 13 novembre 2010 à 12:37 en pensant que le terme "secteurs" désignait des fuseaux, comme dans le point a) de la démonstration.

Un dernier point d'accord : la figure pourrait faire une bonne illustration ; malheureusement je ne sais pas comment la changer. Cordialement, Matematikour --92.129.37.86 (d) 17 novembre 2010 à 18:25 (CET)

J'ai rédigé une autre version pour Albert Girard. Sans doute te semble-t-elle plus claire ? Le risque à force de préciser, c'est que c'est un peu lourd ... Jean ^{[de Parthenay]} 17 novembre 2010 à 18:48 (CET)

Dernière modif ? J'espère que ça va mieux ainsi ! Jean ^{[ de Parthenay]} 17 novembre 2010 à 18:48 (CET)

Oui, c'est maintenant correct. J'ai allégé le texte. Cordialement, Matematikour, --92.129.37.86 (d) 18 novembre 2010 à 07:15 (CET)

Les formules fondamentales

J'ai ajouté un paragraphe pour la 3e formule fondamentale et un pour la formule des cotangentes. Je me suis permis d'ajouter "parfois appelé 3e formule" car je n'ai jamais vu cette appellation ailleurs qu'ici... D'après ce que j'ai pu voir dans la littérature, les 3 formules seraient plutôt les formules (plutôt appelées lois d'ailleurs) des cosinus, des sinus et des cotangentes. --Kiwux (d) 3 janvier 2013 à 15:15 (CET)

Corrigé la relation duale de la 3e formule qui était celle de la formule des cosinus et non pas celle de la 3e formule. --Kiwux (d) 3 janvier 2013 à 15:15 (CET)

Liens externes

Rajout de 2 liens externes: un cours complet de trigonométrie sphérique et la section trigonométrie sphérique d'un site d'astronomie. J'ai retiré le lien vers astroti.free.fr, ce dernier site étant difficilement lisible et n'apportant rien de plus que les autres liens. Je ne sais pas pour le lien vers TriSph s'il est vraiment intéressant de le laisser? --Kiwux (d) 3 janvier 2013 à 15:44 (CET)

Formules pour le triangle rectangle

Venant de travailler un article d'histoire des sciences, j'aurais eu besoin d'isoler les formules trigonométriques pour le triangle rectangle sphérique. Pensez-vous intéressant qu'un section de l'article traite ce cas particulier ? HB (discuter) 4 février 2016 à 18:13 (CET)

Fait. HB (discuter) 10 février 2016 à 13:25 (CET)

Formules pour les petits triangles sphériques

Je suggère de rajouter une section, intitulée par exemple comme ci-dessus ou "Théorème de Legendre", où seraient listées les correspondances entre les formules "sphériques" et les formules "planes" lorsque les longueurs des côtés du triangle sphérique sont petites devant 1, typiquement la formule "sphérique" fondamentale correspondant à la formule "plane" de Al-Kashi c²=a²+b²-2abcosĈ. Voir par exemple III.7 dans http://pycreach.free.fr/archives/Trigonometrie%20spherique.pdf (le reste du papier peut donner des idées pour muscler l'article...).— Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.105.153 (discuter), le 1 décembre 2020 à 17:29 (CET)

cela me semble une bonne idée. HB (discuter) 23 juin 2021 à 15:25 (CEST)

Fait avec des maths élémentaires. Mais je rebondis sur la suggestion de l'IP. Le document qu'il nous propose Pierre-Yves Créach, « Trigonométrie sphérique » est une mine de compléments potentiels : moyen pour retenir les formules du triangle rectangle p. 27, formule de l'excès sphérique p.38 - 47 (dont la formule de l'Huillier, pendant de la formule de Héron), résolutions p. 29-33 et 48-56 , d'autres formules p. 34-38 , isométrie et similitude p. 58, médiatrice, médiane etc p.58-73, théorème de Legendre et ses conséquences p. 77-81. Je n'ai pas les reins assez solides pour entreprendre un tel développement mais c'est vraiment une piste à explorer. HB (discuter) 23 juin 2021 à 18:36 (CEST)

Convention et définition

Convention. Je pense qu'il faut préciser dans le texte que la sphère est de rayon 1 (c'est seulement dit dans la légende de la figure), et qu'on passe au cas général en remplaçant dans les formules a, b, c par a/R, b/R, c/R (sinon il faut tout écrire avec a/R, b/R, c/R). Définition. Il faut préciser que les côtés sont des arcs de grands cercles (ce qui est dit dans l'introduction) de longueur au plus π (ce qui n'est pas dit). Et je pense qu'il faut se limiter au cas où aucun des trois angles n'excède π (à vérifier pour savoir si c'est la définition standard). En ce qui concerne la note a il faut préciser que les trois sommets ne sont pas sur le même demi-grand cercle, car s'ils le sont la somme des trois angles est π et le triangle est d'aire nulle. À ce propos il est peut-être préférable de se limiter aux triangles non dégénérés en se restreignant à des côtés et des angles de mesure strictement inférieurs à la borne supérieure π car cela permet d'énoncer (et de prouver) que deux triangles ayant leurs angles égaux sont isométriques (ce qui, on le sait, est inexact en géométrie euclidienne plane) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.107.184 (discuter), le 4 décembre 2020 à 10:57 (CET)

beaucoup de suggestions, certaines recevables d'autres qui me semblent inadaptées

1. «préciser dans le texte que la sphère est de rayon 1» Non, a priori la taille de la sphère importe peu : les valeurs a, b, et c représentent des angles au centre. La question à se poser est plutôt de faire attention à l'unité utilisée pour les angles (degré ou radian) on semble copieusement naviguer entre l'un et l'autre dans l'article.
2. «préciser que les côtés sont des arcs de grands cercles de longueur au plus π» Oui, il me semble qu'il faut prendre des arcs de demi-grands cercles
3. «se limiter aux triangles non dégénérés» Oui, cela me parait plus prudent mais je ne comprends pas l'objection sur les aires : la somme des angles est π, laire est nulle et c'est bien ce que donne la formule S=(a+b+c-π)*R^2

je tente de mettre en place. HB (discuter) 23 juin 2021 à 15:35 (CEST)

Cohérence entre les conventions et l'illustration

Bonjour,

Je en suis pas mathématicien et j'ai mis un moment à faire la relation entre les annotations de l'illustration et les équations. En allant rapidement aux équations (c'est ce que je cherchais), j'ai vu des cos a, cos b et cos c et en regardant l'illustration, a, b et c semblaient être des distances. La légende de l'illustration et les équations ne sont devenues claires qu'une fois que j'ai lu attentivement les conventions.

Bien sûr la relation entre l'angle au centre et la longueur de l'arc est évidente, mais la première lecture était confuse.

Je vois deux solutions possibles pour unifier et être plus clair :

- a b c sont définis comme des angles et il faut les identifier de la même façon que α, β et γ sur l'illustration (arcs colorés proches du centre avec le nom à proximité), auxquels on peut rajouter les annotation des longueurs aR, bR et cR ;

- a b c sont des distances et il faut préciser que la sphère est unitaire sur l'illustration (ou qu'il faut diviser par le rayon, mais ça alourdirait inutilement les équations) 2A01:CB1C:E51:3C00:80EE:7D5F:A371:3896 (discuter) 10 septembre 2023 à 11:00 (CEST)

J'avoue ne pas comprendre ce reproche car la remarque figure clairement dès le départ en légende de l'image

« (l’angle a s’identifie à BC si on suppose le rayon égal à 1) »

La convention me semble donc bien expliquée dès le départ. Quant à l'idée de changer les conventions de notation pour permettre une meilleure compréhension de l'article, je ne m'y risquerai pas car cela serait évidemment non conforme aux sources sur le sujet. HB (discuter) 10 septembre 2023 à 12:00 (CEST)

Demande de source

Hier j'ai demandé des sources concernant une affirmation. Mes raisons sont multiples

• Je pense que le raisonnement est exact mais je peux me tromper d'autant plus que les détails fournis masquent le fait que l'on travaille sur une approximation de arcos au voisinage de 1 où la fonction ne possède pas de développement limité
• WP a muri. Maintenant on ne peut pas mettre seulement ce que l'on trouve intéressant; on doit filtrer en fournissant des sources qui prouvent la pertinence de la notion ou de la méthode.

Depuis, ma demande de source a été supprimée et d'autres affirmations ont été ajoutées toujours sans source. Cela ne me semble pas correspondre à l'esprit de wikipedia et cela me semble en outre déséquilibrer l'article en donnant une importance démesurée à la géographie terrestre, avec reprise d'informations qui sont déjà traitées dans les articles loxodromie et Orthodromie.

Je n'ai pas (plus) envie d'argumenter des heures en page de discussion ni entrer dans un conflit sur l'article donc je me contente de cette alerte. Aux autres contributeurs de réagir s'ils jugent mon alerte légitime. HB (discuter) 18 janvier 2024 à 18:49 (CET)

Bonjour  HB :,

J'ai pris sur moi de tailler dans le gras et de renvoyer vers les deux articles détaillés pour les exemples. Si l'IP revient à la charge, c'est pour moi. Parce que moi aussi, j'en ai assez de ces CAOU qui utilisent WP comme un blog de recherches.

Kelam (discuter) 19 janvier 2024 à 09:37 (CET)

Merci. HB (discuter) 19 janvier 2024 à 14:48 (CET)