Discussion:Théorème de Jordan-Hölder

Imperfections

La section "Définitions" dit :

"Soit G un groupe fini. On appelle suite de Jordan-Hölder une suite G₀, G₁, ..., G_n de groupes tels que :

• G₀ soit le groupe nul et G_n soit G
• G_i soit strictement inclus dans G_i+1
• G_i soit distingué dans G_i+1

Une telle suite est dite maximale quand on ne peut introduire un groupe entre deux groupes."

(D'habitude, on considère des suites décroissantes, mais ce n'est pas ce qui importe dans ce qui suit. Je ferai comme si les groupes ci-dessus étaient numérotés dans l'ordre inverse, pour rejoindre la terminologie de Bourbaki etc.)

Ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder est habituellement appelé suite de composition strictement décroissante (Bourbaki 1970 pp. 39 et 41; Calais p. 225; tr. fr. de l'Algèbre de Lang p. 19...) ou (strictly decreasing) normal series (Rotman p. 97) mais je ne me souviens pas avoir vu un livre où cette sorte de suites est appelée suite de Jordan-Hölder. Ce que Bourbaki et Calais p. 229 appellent suite de Jordan-Hölder est ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder maximale.

Mais un peu plus loin, il y a une incohérence. Le théorème de Jordan-Hölder est énoncé comme suit :

"Soit G un groupe fini, alors :

• G admet au moins une suite de Jordan-Hölder.
• Toutes les suites maximales ont la même longueur.
• Les quotients sont les mêmes mais peuvent être présentés dans un ordre différent."

Avec la définition qui a été donnée ci-dessus, le premier de ces trois énoncés est trivial. Ce qui est intéressant, dans le cas d'un groupe fini, c'est qu'il admet une suite de Jordan-Hölder au sens de Bourbaki etc., c'est-à-dire ce qui, plus haut dans l'article, a été appelé une suite de Jordan-Hölder maximale.

Le second et le troisième énoncé sont d'ailleurs vrais sans qu'on doive supposer G fini. Encore faut-il préciser que le troisième énoncé ne concerne que les suites de Jordan-Hölder "maximales" (autrement dit les suites de Jordan-Hölder de tout le monde), comme le second. Enfin, dire que "les quotients sont les mêmes" est une façon assez inexacte de dire que les groupes-quotients sont isomorphes. Et pour être précis sur la question de l'ordre, il vaudrait peut-être mieux parler d'une permutation de l'ensemble des indices (autres que le dernier).

Il se fait que je viens d'écrire un chapitre Théorème de Jordan-Hölder pour Wikiversité. Je proposerais d'énoncer ici les définitions et les théorèmes comme dans ce chapitre de Wikiversité. On pourrait d'ailleurs mettre des références (par exemple à Bourbaki) pour justifier la terminologie. Qu'en pense-t-on ?
Marvoir (d) 22 février 2009 à 18:25 (CET)

Il est fort possible que je me sois embrouillé les pinceaux lors de l'édition de cet article.J'ai peut-être toujours appelé à tort une suite de Jordan-Hölder une suite de composition. Tes remarques me paraissent toutes judicieuses et présenter le tout de façon plus usuelle (au sens des définitions) et plus formelle pour éviter les confusions. Ainsi si "Les quotients sont les mêmes mais peuvent être présentés dans un ordre différent." voulait dire (pour bibi) exactement que les groupes quotients sont isomorphes à une permutation près des indices, tout le monde ne la lit pas dans ce sens là (d'où ta remarque) et il faut donc la rendre explicite. Je ferais peut-être ça d'ici peu sauf si tu veux l'intégrer dans un tout plus grand et que tui as déjà des projets pour cette page. Noky (d) 23 février 2009 à 15:01 (CET)

Non, je n'ai pas de projets. Si tu veux faire les retouches toi-même, je ne demande pas mieux.

Marvoir (d) 23 février 2009 à 17:16 (CET)

Histoire

Je viens de parcourir (de) O. Hölder, « Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen) », Math. Ann.,‎ 1889, p. 31, consultable sur le site de l'université de Göttingen. Il me semble que c'est dans cet article que Hölder démontre son amélioration du théorème de Jordan (p. 37). Je le signale à toutes fins utiles pour le cas où quelqu'un trouverait bon d'aborder l'histoire du théorème; il serait alors intéressant de mettre un lien vers l'article de Hölder en ligne. Cependant, pour ma part, je ne me risque pas à parler d'histoire des mathématiques sans m'appuyer sur une source secondaire. Marvoir (d) 29 octobre 2012 à 20:40 (CET)

Chevauchements avec l'article Suite de composition.

Il y a pas mal de chevauchements entre cet article et l'article Suite de composition (et comme c'est surtout moi qui ai travaillé à ces deux articles, c'est moi le responsable). En fait, l'article Suite de composition traite surtout des suites de Jordan-Hölder et pourrait presque ête renommé "Suite de Jordan-Hölder". Si on enlève du présent article Théorème de Jordan-Hölder tout ce qui pourait aussi bien se trouver dans l'article Suite de composition (par exemple la condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe, ou un groupe à opérateurs, ait une suite de Jordan-Hölder), le présent article Théorème de Jordan-Hölder deviendrait fort mince. Je me demande s'il ne vaudrait pas mieux faire comme à la Wikipedia anglaise, où le théorème de Jordan-Hölder n'a pas d'article pour lui seul, mais est une section de l'article en:Composition series (cette expression correspondant à ce qui est chez nous une suite de Jordan-Hölder). Marvoir (discuter) 24 novembre 2013 à 14:44 (CET)

En tout cas, avant une éventuelle fusion, je pense que rien n'empêche de renommer notre article Suite de composition en "Suite de Jordan-Hölder" (titre qui correspond mieux au véritable sujet de l'article). Ainsi renommé, cet article pourra ête lié à l'article anglais en:Composition series (cette expression anglaise correspondant, je le rappelle, à ce qui est chez nous une suite de Jordan-Hölder). Marvoir (discuter) 25 novembre 2013 à 08:05 (CET)

Mouais, ce n'est pas si simple, parce que le renommage ferait de "Suite de composition" une page de redirection vers "Suite de Jordan-Hölder" alors que la notion de suite de composition pourrait avoir son article. Peut-être faudrait-il créer un article "Suite de Jordan-Hölder" et y plonger toute la partie de "Suite de composition" qui concerne les suites de Jordan-Hölder. Si je ne me trompe, ce genre de "fusion", où les deux articles subsistent, ne demande pas de fusion d'historiques. Marvoir (discuter) 25 novembre 2013 à 08:28 (CET)