Discussion:Théorème d'inversion locale

en dimension infinie?

N'existe t'il pas une généralisation dans le cas des espaces de banach?--Sylvain d'Altaïr 8 janvier 2007 à 19:34 (CET)

Il me semble que dans le cas d'une fonction réelle de la variable réelle, le théorème s'exprime un peu différemment et que le cas général s'exprime en effet dans un Banach. Jean-Luc W (d) 27 février 2009 à 22:24 (CET)

Rédaction différente ?

Pour mémoire, ceci, issu d'une discussion sur Bijection réciproque :

Je propose pour généraliser le texte suivant :

Soient $\,U$ un ouvert non vide de $\mathbb {R} ^{n}$, $f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ une fonction de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ sur $\,U$ telle qu'en un point $a\in U$ on a $df(a)\neq 0_{{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})}$. Alors il existe un ouvert $V\subset U$ contenant $\,a$ tel que f soit un${\mathcal {C}}^{1}$difféomorphisme de V sur l'image $\,f(V)$ (autrement dit, $\,f$ est inversible sur $\,V$ et comme $\,f$, son inverse$\,f^{-1}:f(V)\mapsto V$ est aussi de classe ${\mathcal {C}}^{1}$. Il est à noter que la fonction différentielle $\,df$ est une application de$U\subset \mathbb {R} ^{n}$ dans ${\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})$, espace des applications linéaires de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$. Peut-être peut-on remplacer ${\mathcal {C}}^{1}$ par ${\mathcal {C}}^{k}$ ? Je demande votre avis.--Lanh (d) 12 février 2011 à 00:55 (CET)

Qu'en penser ?--Dfeldmann (d) 12 février 2011 à 06:19 (CET)

Qu'il y a une étourderie dans "$df(a)\neq 0$", que dans "Bijection réciproque" il vaut mieux garder la version simpliste, et que dans cet article-ci le cas Cp pour tout p>0 (et Banach) est déjà traité. Anne Bauval (d) 12 février 2011 à 11:43 (CET)

pb image

Théorème d'inversion locale#Étude d'un cas "Cette zone est illustrée en bleu sur la figure de droite et son image en vert" euh ? l'image du disque bleu ne devrait pas être un disque Anne Bauval (d) 14 février 2011 à 11:16 (CET)

Plus de 2 ans déjà ! Si personne ne réagit, je vais bientôt supprimer ce § à image fausse et qui sans image perdrait sa raison d'être. D'autant plus que ce genre de § a sa place dans un cours mais pas dans un article de WP. Anne (d) 8 avril 2013 à 14:37 (CEST)

si tu regardes bien ce n'est pas un disque , le « grand rayon » (du point d'affixe i/2 au sommet de la zone) est de (sqrt(2)+0,2)/5 soit env. 0,32 et le petit rayon (du même point au bas de la zone est de (sqrt(2)-0,2)/5 soit env. 0,24 et le « rayon latéral» est de sqrt(2,04)< env; 0,29. Je me suis aussi fait piéger jusqu'à ce que je tente de refaire la figure. Concernant la légitimité de l'exemple, je ne me prononce pas HB (d) 8 avril 2013 à 15:32 (CEST)

Ah, merci pour cet éclaircissement et cette réponse rapide, qui m'a évité de commettre une (peut-être ?) mauvaise action. J'ai un peu honte d'avoir si peu honte. Anne (d) 8 avril 2013 à 21:34 (CEST)

Sur Théorème d'inversion locale#Étude d'un cas

Je manque de recul sur une telle notion mais je soulève ici quelques points qui me bloquent ou m'ont bloquée dans la compréhension de l'argumentation

• L'objectif est de l'inverser au voisinage du point 1/2(1 + i).

cette phrase m'a bloquée pendant longtemps car je voyais dans le « voisinage du point 1/2(1 + i) » l'ensemble de définition de f^-1. Ne faudrait-il pas trouver une autre formulation du genre de ce que j'ai corrigé plus tard : l'objectif est trouver un voisinage V du point 1/2(1 + i) pour lequel la restriction de f à V à valeurs dans f(V) soit bijective ?

• Il existe un voisinage sur lequel la norme de la différentielle de g est inférieure à 1/2, car g est continument différentiable. Le disque D est dans cette zone.

la première information est une conséquence directe du fait que g est C1 et de différentielle nulle en z0. La seconde affirmation n'est une conséquence de rien du tout, il me semble. Ne faudrait-il pas le signaler par une phrase : le disque D a été choisi de telle sorte qu'il est bien dans cette zone.

• Comme D est dans la zone contractante de g, cet ensemble est stable par g.

je ne sais pas ce qu'est une zone contractante. Je sais ce qu'est une application contractante. Mais il me semble que le fait d'être contractant sur D n'induit pas la stabilité : la fonction f : x -> 1+x/2 est contractante mais n'est pas stable sur [-1;1]. Il me semble donc que le fait que g(D) soit inclus dans D n'est pas aussi évident que cela. Il est probable que quelque chose m'échappe mais ce serait à clarifier.

HB (d) 9 avril 2013 à 09:35 (CEST)

Sur le dernier point, je confirme que je sens comme un problème : en prenant z1=(0,1; 0,6) on a bien g(D) inclus dans D, mais en prenant un autre point du domaine vert, il peut se trouver que le g(D) correspondant sorte de D. De plus grâce à tes corrections, Anne sur l'existence d'une réciproque locale, l'exemple illustratif ne permet plus d'éclairer la preuve mise en ligne donc je suis d'avis de supprimer l'étude du cas - sauf si on est capable de corriger les points que je soulève mais je crains bien que ma dernière objection ne nécessite de modifier les ensembles D et f(D)). HB (d) 9 avril 2013 à 14:04 (CEST)

je suis aussi d'avis de supprimer l'étude du cas qui n'éclaire pas la preuve, et je confirme l'arnaque : d'après mes calculs (et sauf nouvelle erreur de ma part), la condition sur z₁ pour que D soit stable par g est

$|z_{1}-z_{0}^{2}|\leq \alpha :={\frac {2|z_{0}|}{5}}-{\frac {1}{25}}={\frac {\sqrt {2}}{5}}-{\frac {1}{25}}\simeq 0,24$

Pour z1=0,1+0,6i on a bien |z1-0,5i|≤α, mais par pour tout $z_{1}=(z_{0}+k)^{2}{\text{ avec }}|k|<1/5$, puisque la condition équivaut à

$|k||2z_{0}+k|\leq \alpha$ autrement dit, en posant $k=tz_{0}$ : $|t||2+t|\leq \alpha /|z_{0}|^{2}=2\alpha$

Pour que ceci soit vérifié pour tout $|t|<{\sqrt {2}}/5$, il faudrait que

$2+{\sqrt {2}}/5\leq 5{\sqrt {2}}\alpha =2-{\sqrt {2}}/5$ (…!) Anne (d) 10 avril 2013 à 10:25 (CEST)

J'ai supprimé l'étude de cas que j'ai remplacée par un principe de la démarche (à valider). Il reste cependant un point qui me parait peu clair. La démonstration prouve que, pour tout y de W, il existe un antécédent de y par f dans B_r . Cet antécédent est a fortiori dansB_r ∩f ^-1(W) , mais pourquoi serait t-il dans V = B_r∩f ^-1(W) ? Ne faudrait-il pas plutôt prendre au lieu de B_r, B_r/2+|y| ?HB (d) 10 avril 2013 à 14:43 (CEST)

Jolie correction. Merci Anne. HB (d) 10 avril 2013 à 21:07 (CEST)

Référence

Je me suis permis d'ajouter la référence vers le livre de Mardsen et Ratiu pour cette histoire de fonction inverse $C^{\infty }$. Cela fera plaisir à ceux qui veulent une source en ligne; et pour avoir personnellement lu à la fois Laudenbach et Mardsen/Ratiu en détail, il me semble que ce dernier est mieux.

Par contre, je ne suis pas très sûr de la légalité de cette mise en ligne. Certes, c'est sur le site officiel d'une université (PennStates), mais ce n'est pas sur le site de l'auteur et l'avertissement de l'éditeur en page ii est assez clair.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Laurent Claessens (discuter), le 5/3/2014.

Différentielle bicontinue ?

Bonsoir,

Un petit détail me surprend dans l’article. Il est demandé que la différentielle de f au point x soit une bijection bicontinue. Or, si l’on suppose seulement df(x) bijective du Banach réel E sur le Banach réel F, alors un corollaire immédiat du « théorème de l’application ouverte » assure que la réciproque df(x)^-1 est continue aussi.

Verriez-vous un inconvénient à remplacer « bijection bicontinue » par « bijection continue » dans le RI, et « isomorphisme bicontinu » par « isomorphisme continu » dans le cadre énoncé du théorème, quitte à ajouter un très court paragraphe explicatif ?

Bien cordialement --Pic-Sou 22 décembre 2015 à 16:54 (CET)