Discussion:Relation d'ordre

Relation d'ordre et complexes

On ne sait pas définir de relation d'ordre sur l'ensemble des nombres complexes.

• faux: par exemple on peut dire "x + iy <= x' + iy'" ssi (x < x' ou (x = x' et y <= y')).
• par contre, si on veut que cet ordre aie de bonnes propriétés (par ex z <= z' implique z + z" <= z' + z", etc) ça devient difficile, voire impossible. Mais je ne sais pas de tête quelles propriétés supplémentaires suffisent à rendre la chose impossible.

FvdP (d) 13 jul 2004

Pour être plus précis, on peut munir l'ensemble des nombres complexes d'un ordre total qui respecte la structure de groupe additif. Par contre, aucun ordre total n'est compatible avec la structure d'anneau car on ne peut pas classer i par rapport à 0 ; que l'on choisisse 0 < i ou 0 > i, on obtiendrait 0 < -1 en élevant au carré chaque membre de l'inégalité. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 193.50.42.237 (discuter), le 21/12/2012.

Fait. Anne, mars 2016

Quel sens a pour vous "compatible avec la structure d'anneau" ? Dans votre exemple, vous montrez simplement que la fonction carrée n'est pas croissante partout. À titre de comparaison, ce n'est pas le cas non plus de $\mathbb {R}$ : $-1<0$ et pourtant $(-1)^{2}>0^{2}$.
Non, je pense que d'une part, cette relation d'ordre ne servirait pas à grand chose. D'autre part, ce qui gêne intuitivement, c'est qu'elle induirait des sauts, une sorte de discontinuité dans $\mathbb {C}$. Je n'en suis pas sûr, mais je pense qu'on pourrait la formaliser de la façon suivante : si on associe à $\mathbb {C}$ la topologie induite par les segments ouverts définis par la relation d'ordre ci-dessus, alors les fermés bornés de $\mathbb {C}$ ne seront pas compacts, ce qui est contre-intuitif, et qui empêche d'appliquer tout un tas de théorèmes intéressants quand on parle de relation d'ordre dans $\mathbb {R}$, comme le Théorème de la limite monotone.--Giulio Foresto (discuter) 23 octobre 2020 à 20:40 (CEST)

À quoi bon introduire de la subjectivité, ou des conjectures sur l'ordre lexicographique ? La définition de « Compatible avec la structure d'anneau » est rappelée (depuis mars 2016) dans Relation_d'ordre#Compatibilité, et cet énoncé de non-existence (d'un ordre total sur C compatible avec la structure d'anneau) est simple, précis et facile à prouver. Anne, 24/10

Ah, au temps pour mois, je ne connaissais pas cette notion de compatibilité. Effectivement, on voit facilement que cette relation d'ordre ne serait pas compatible.
Pour ce qui est de la subjectivité, je vous rassure, je ne voulais pas du tout suggérer d'insérer mes considérations dans l'article. Par contre il peut être utile de citer en exemple le résultat que vous dites, de non existence d'une relation d'ordre total sur $\mathbb {C}$ compatible avec sa structure d'anneau, comme c'est mentionné dans l'article Corps totalement ordonné. À moins que ça ne fasse trop catalogue de curiosités et que ce ne soit pas assez pertinent.--Giulio Foresto (discuter) 24 octobre 2020 à 12:59 (CEST)

pour relancer la discussion, il est impossible de créer un ordre total sur C qui soit compatible avec la distance d (a,b) = ||b-a||

Un ordre total « continu » par rapport à la distance en tout x0, devrait vérifier : pour tout epsilon (R+), il existe dzeta (de C) tel que : x0 – dzeta <= x <= x0 + dzeta => | x – x0 | < epsilon (apport personnel, à vérifier) (à gauche <= désigne un ordre défini sur c, à droite l'ordre naturel sur R+)

Si l'ordre n'est pas « continu » par rapport à la distance, alors il est inutilisable. En reprenant l'ordre total : "x + iy <= x' + iy'" ssi (x < x' ou (x = x' et y <= y')). , qui n'est pas continu, et en considérant la suite fn = (1 – (0,1)exp(n), 1 ) qui tend vers (1,1) on a pour tout n, fn < (1,0) et fn tend vers (1,1) > (1,0) C'est comme si dans R on avait une suite toujours inférieure à 2 mais qui tende vers 2,5 !! Si l'ordre n'est pas continu par rapport à la distance, il est inexploitable (encadrement de suite, suite croissante majorée..etc) Il est donc impossible (à démontrer) de munir C d'un ordre total CONTINU par rapport à la distance d.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par 2a01:e0a:a:8630:8c0c:6100:6e60:d922 (discuter), le 17 octobre 2021 à 15:43

Propriétés générales

La partie 1.1 donnant des propriétés générales sur les relations binaires n'a rien à faire dans cet article. Elles seraient bien mieux situées dans l'article relation binaire. Il convient donc de voir si toutes les propriétés énoncées ici y figurent, puis supprimer cette partie. Theon 2 mars 2006 à 18:01 (CET)

Verification effectuée. Suppression possible. Mais cet article mérite plus: une introduction plus basique. De nombreux exemples.HB 2 mars 2006 à 18:29 (CET)

Les propriété générales ont éte supprimées. J'ai aussi modifié l'ordre pour que l'ignorant des finesses des relations d'ordre retrouve en tête la définition classique, les exemples et les contrexemples. J'espère n'avoir pas oublié dans ce rangement une des propriétés patiemment collectée par 194.214.213.67. HB 19 mars 2006 à 16:03 (CET)

A quoi ça sert

faudrait quand meme dire a quoi ca sert Fv 19 mars 2006 à 16:24 (CET)

ben !! à comparer des objets !? comme c'est marqué en intro. As-tu quelque chose de simple à rajouter ? HB 19 mars 2006 à 16:31 (CET)

ancres

ancre brisée sur correspondance complémentaire. je n'ai pas trouvé d'alternative simple. andre 1 juin 2006 à 23:47 (CEST)

ancre restaurée. HB 2 juin 2006 à 07:54 (CEST)

merci andre 2 juin 2006 à 14:26 (CEST)

borne

Stefp 12 septembre 2006 à 17:13 (CEST) le terme de borne est introduit mais n'est pas defini

harmonisation, mode math

Rien contre une harmonisation des notations qui était probablement utile, mais l'usage systématique du symbolisme logique, les notations TeX dans le corps du texte ... pas emballé par la dernière modification. Article qui a besoin d'être complété par ailleurs : sup, inf, ... fonctions (dé)croissantes, ... Proz (d) 7 décembre 2007 à 22:18 (CET)

Lien vers l'article "Méthode de comparaison"

Je vais supprimer ce lien pour la raison suivante. L'article Méthode de comparaison est, comme j'ai découvert, un article du domaine de la sociologie et de la philosophie: voir la page d'homonymie Comparaison qui contient un lien allant vers la même page. D'ailleurs le rapport avec la notion de relation d'ordre est plutôt marginal. Ladite page d'homonymie commence par un lien vers un article qui conviendrait mieux comme but d'un lien wiki depuis "Relation d'ordre", à savoir "Comparaison (mathématiques)", seulement voilà, ce dernier article est un 'redirect' vers ... l'article dont on discute ici - en le visant, on tournerait en rond, donc je fais un "revert" (je n'ai pas trouvé d'équivalent français pour ce mot anglais, y en a-t-il un?) - il ne me semble pas nécessaire d'expliquer au lecteur la notion de comparaison, et le cas échéant, cet article-ci le fait au mieux ...--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 22 novembre 2008 à 01:18 (CET)

Ordre produit

Pourquoi cette redirection n'arrive pas à détecter cette ancre ? Anne Bauval (d) 5 avril 2010 à 18:20 (CEST)

Pour moi ça fonctionne. Proz (d) 5 avril 2010 à 18:39 (CEST)

Projet de fusion

Je projette de fusionner le petit doublon (relativement récent) : Poset. Anne Bauval (d) 22 juin 2010 à 21:04 (CEST)

Fusion Relation d'ordre et Poset

(recopié depuis la page WP:PAF) Ambigraphe, le 6 juillet 2010 à 14:25 (CEST)

Il s'agit de la même notion mathématique, et les articles sont en partie redondants. De plus, le terme poset est un anglicisme. π¼ ✐, le 28 juin 2010 à 18:40 (CEST)

Pour, comme indiqué le 22 dans la PdD de ces 2 articles. Anne Bauval (d) 28 juin 2010 à 19:58 (CEST)

Pas particulièrement fan pour une fusion mais la question de l'organisation du savoir (1 unique article sur wp ou un milliard) m'importe peu tant que tout est là. Mais si fusion est faite, par soucis de cohèrence il faut aussi fusionner avec Ordre total et si a contrario il n'y a pas fusion il faut renommer poset en ordre partiel (qui redirige actuellement vers Relation d'ordre. Tiens je découvre qu'il y a aussi Ordre partiel complet, bon je me sauve trop compliqué pour ma tête . --Epsilon0 ε₀ 29 juin 2010 à 16:48 (CEST)

Moi aussi je ne suis que mollement pour la fusion : certes un Poset c'est formellement la même chose qu'un ensemble ordonné, mais en pratique (et autant que je comprenne) le terme n'est opportun que quand on s'y intéresse d'un point de vue combinatoire : le lemme de Zorn ou les bons ordres ne concernent pas les « posets » dans les faits (même si formellement bien sûr...). La séparation peut donc se défendre, « poset » ayant vocation à être une loupe sur une section de « relation d'ordre ». Après on peut parler en théorie d'articles idéalement achevés, mais en pratique la fusion reste raisonnable dans leur état d'avancement. Touriste (d) 29 juin 2010 à 16:52 (CEST)

Sincèrement, je ne comprends pas (ou : pas encore) les explications de Touriste (mais je ne désespère pas, car il y a deux pages anglaises). Par contre pas d'accord pour fusionner avec Ordre total, qui mérite à mon avis un article à part entière, et une loupe au sein de Relation d'ordre. La redirection actuelle de ordre partiel vers Relation d'ordre me semble naturelle (c'est la même chose). Attention par contre à ne pas faire n'importe quoi avec le problématique Ordre partiel complet, qui désigne autre chose que ce que les matheux appellent un ordre partiel complet. Anne Bauval (d) 3 juillet 2010 à 15:04 (CEST)

De prime abord je serais pour la fusion, mais la réflexion d'Epsilon0 fait mouche. En effet, je suis d'accord avec Anne Bauval sur le fait que « Ordre total » doive rester un article à part. Pourquoi ? Mais parce qu'il y a quantité de résultats qui concernent spécifiquement les ordres totaux, bien sûr ! Et alors, n'y a-t-il pas des résultats qui n'ont pas d'intérêt sur les ordres totaux, peut-être ? Euh… sans doute.

J'ajoute que, paradoxalement, on considère en général une ou plusieurs relations d'ordre sur un ensemble bien précis, tandis que j'ai l'impression qu'on parle surtout de poset à isomorphisme près, en se moquant un peu de savoir quel est l'ensemble sous-jacent.

À mon avis on peut donc garder :

• un article « Relation d'ordre » avec la définition, les exemples fondamentaux, la compatibilité avec les opérations algébriques, les notions de fonction croissante, décroissante et monotone, de borne, de plus petit ou plus grand élément, de bornes supérieure et inférieure, d'intervalle, de densité, l'ordre strict, l'ordre produit, l'ordre dual, les propriétés de bon ordre, bel ordre ou ordre bien fondé, la connexion de Galois, la présentation en théorie des catégories…
• un article « Ordre partiel » ou « Ensemble partiellement ordonné » (tiens, c'est rouge !) vers lequel redirigera « Poset » (même si j'ai effectivement déjà entendu des francophones employer ce terme en français, il faut reconnaitre que c'est plus court) et dans lequel on trouvera les notions de chaine et d'antichaine, de graphe de comparabilité, de treillis, de filtre et d'idéal, le lemme de Zorn, les diagrammes de Hasse, la topologie de Scott… plus les éventuels aspects combinatoires que je ne connais pas bien mais qui sont mentionnés par Touriste ;
• un article « Ordre total » ou « Ensemble totalement ordonné » avec les exemples, la complétude, la topologie de l'ordre, les ordinaux…

Objections, critiques et commentaires bienvenus, Ambigraphe, le 4 juillet 2010 à 16:16 (CEST)

Concernant ce qu'il faut faire en définitive, moins calé que vous en maths géné, je passe mon tour, néanmoins je conteste qu'une relation d'ordre serait formellement une relation d'ordre partiel (qui est p.-e. peu étudiée ou jugée sans grand intérêt intrinsèque méritant un article séparé : chai pas) alors qu'une relation d'ordre totale (qui est p.-e. plus étudiée et mérite un article à part : chai pas) serait elle différente. Pour préciser ma contestation ne concerne pas tant le vocabulaire usuel en français que les relation entre axiomes que l'on peut considérer.

En gros je vois (sauf boulettes) 6 axiomes (que je préfère préciser quitte à être lourd, simplement pour ne pas être piégé par le vocabulaire en français) :

• 1/ all x, y, z [ (x<y et y<z) --> x<z] transitivité
• 2/ all x, y [ (x<y et y<x) --> x=y ] antisymétrie
• 3/ all x non(x<x) irréflexivité (à ne pas confondre avec la non-réflexivité)
• 4/ all x (x<x) réflexivité
• 5/ exists x, exists y [non(x<y) et non(y<x) ] Axiome affirmant que l'ordre est partiel
• 6/ all x, all y, [x<y ou y<x] Axiome affirmant que l'ordre est total

Tous ces axiomes ne sont évidemment pas indépendants.

Je laisse de côté la question de savoir si l'ordre est large ou pas : axiome 3/, axiome 4/, ou négation des 2 (que je n'ai pas indiqué)

Pour moi

• relation d'ordre = 1/ + 2/ et
• relation d'ordre partiel (ou poset) = 1/ + 2/ + 5/
• relation d'ordre total = 1/ + 2/ + 6/

Ainsi il y a autant de différence entre une relation d'ordre partielle et une relation d'ordre qu'entre une relation d'ordre totale et une relation d'ordre ; soit un axiome en plus.

Sinon sur le fond (fusion ou pas) :

• 1/ Flemme à dénombrer combien de composition possible de ces 6 axiomes + leurs négation sachant qu'on garde au moins le 1/ (appelé un "pré-ordre", je crois)
• 2/ Met-on tout dans l'unique article relation d'ordre ou fait-on pour certains (mais sans doute pas tous ; qui n'ont d'ailleurs pas forcément tous un terme univoque les désignant en français) un article séparé ... au vu de leurs notoriétés ? Vous me semblez plus compétents que moi pour en juger.

--Epsilon0 ε₀ 5 juillet 2010 à 21:45 (CEST)

Pour moi, un ordre total est un cas particulier d'ordre partiel, de même qu'un opérateur borné est un opérateur non borné (ou qu'un linéaire est un non linéaire), ou qu'une algèbre associative est une algèbre non associative. C'est un peu regrettable comme terminologie mais c'est l'usage.

Mais si tu as lu mon intervention ci-dessus, peut-être va-t-elle dans le sens que tu souhaites ? Ambigraphe, le 5 juillet 2010 à 21:58 (CEST)

Je suis d'accord avec toi concernant le vocabulaire usuel, je ne cherche pas en changer car c'est mal et c'est pourquoi j'ai voulu exposer précisément certaines (mais pas toutes évidemment : j'ai pas parlé des bons ordres, toussa) relations d'ordres et seulement par des formules (car le voca en fr ou en anlais est vite limité). Sinon sur ce que tu suggères, 3 articles relation d'ordre, ordre partiel, ordre total, je n'ai rien contre ; même qu'a priori (en l'état de mes connaissances sur le sujet) je suis franchement pour ;-). Mais comme je l'ai dit je crois que mon avis est moins pertinent que les votre(s?) (vrais matheux et non logico-philosophes comme moi) pour savoir précisément lesquelles parmi les diverses relations d'ordre ont un potentiel encyclopédique qui peut s'exprimer par un article séparé. Car là je fais simplement mumuse avec des axiomes et ne connais pas trop parmi les théories possibles derrières, celles qui ont de fortes implications en maths géné et celles qui sont peu considérées. --Epsilon0 ε₀ 5 juillet 2010 à 22:20 (CEST)

1. à je-sais-pas-qui-hélas (mais sans doute est-ce un marronnier) :
   1. Pourquoi n'y a-t-il pas, comme pour les PàS, une sous-page plus facile à suivre que cette grosse page fourre-tout ?
   2. Pourquoi ne faut-il pas modifier des articles dont la fusion est proposée ? ça pourrait aider à éclaircir les choses au fur et à mesure du débat
2. à Epsilon0 : préordre (large) =réflexif+transitif ; poset ou ordre partiel (large) =ordre (large) = préordre+antisymétrique ; ordre total (large) = ordre (large) + total, et il n'y a pas lieu à mon avis de faire des articles séparés pour la relation stricte associée (qu'on considère, je crois, moins souvent, et qu'on peut donc se contenter d'évoquer au passage).
3. à Ambigraphe et Touriste : toujours pas convaincue, même après avoir relu ce que vous en dites et qui est flou pour moi, de l'opportunité de 2 articles sur la même notion. Le bébé-article poset ne fait que reprendre, d'une façon qui me semble arbitraire, des bribes du vieil-article ordre (et poset parle même de Zorn, Touriste). Et sur WP:en idem. J'ai bien compris qu'on est d'accord tous les trois que c'est la même notion formellement. Ce que je ne saisis pas (ou : pas encore) c'est "vos" (?) critères informels spécifiques pour poset.

Anne Bauval (d) 5 juillet 2010 à 23:30 (CEST)

Ma proposition est la suivante : on renomme « Poset » en « Ordre partiel » ou « Ensemble partiellement ordonné », puis on laisse sur cet article tout ce qui concerne les relations d'ordre et qui n'a pas d'intérêt pour les ordres totaux (voir la liste ci-dessus). Est-ce que c'est moins flou dit comme ça ? (Même si c'est moins flou, tu as le droit de ne pas être d'accord et de présenter des arguments contre celui-ci. J'ai changé d'avis une fois en construisant ma réponse à Epsilon0, je peux encore retourner ma veste.) Ambigraphe, le 6 juillet 2010 à 14:25 (CEST)

Pour moi aussi "partiel" servait juste à préciser "non-nécessairement total" : la possibilité d'avoir des gars qui ne se comparent pas donne lieu à des phénomènes "curieux", mais est-ce que l'existence de gars qui ne se comparent pas donne vraiment des résultats ? est-ce qu'on a des théorèmes vrais uniquement sous réserve de cette existence ou deviennent-ils simplement vrais parceque vides ? (oula, je sais pas si je suis clair...)Alexandre alexandre (d) 6 juillet 2010 à 15:15 (CEST)

Nous sommes d'accord sur la définition de « partiel » dans ce cadre et en particulier nous sommes d'accord qu'un ordre total est partiel. Il ne s'agit donc pas de concevoir un article sur les ordres non totaux (ni sur les conséquences de l'existence d'éléments incomparables) mais ma suggestion (qui peut fort bien être battue en brèche) est de regrouper dans un article les résultats valables sur tout ordre partiel et en particulier sur tout ordre total mais qui n'ont pas d'intérêt sur les ordres totaux. Typiquement, le lemme de Zorn est une trivialité sur un ordre total : si toute chaîne est majorée, en particulier l'ensemble est majoré. Je rappelle ici les notions qui me semblent de cet ordre (hum !) : chaine et antichaine, graphe de comparabilité, treillis, filtre et idéal, diagrammes de Hasse, topologie de Scott… Ambigraphe, le 6 juillet 2010 à 17:10 (CEST)

De toute façon, une fusion n'est en général pas effectuée par les gentils contributeurs qui s'occupent des fusions d'historique. Avant de demander la fusion de « Relation d'ordre » et « Poset », il faudrait réécrire l'article « Relation d'ordre » pour voir tout ce qu'on peut y intégrer. Si tout rentre, pas de problème. Sinon, il faudra faire un tri et répartir les détails entre différents articles connexes (ou annexes, mais je ne sais pas si on a encore le droit d'utiliser cet adjectif sur Wikipédia). Ambigraphe, le 6 juillet 2010 à 18:55 (CEST)

Pour moi, une relation d'ordre partielle, c'est une relation d'ordre qui n'est pas totale, et je ne suis pas le seul. ---- El Caro ^bla 6 juillet 2010 à 19:12 (CEST)

L'Universalis te donne raison. Mais l'article en:Poset stipule que l'ordre partiel généralise l'ordre total. Le doute m'assaille. Qui aurait une autre référence imprimée statuant sur l'appartenance des ordres totaux à la catégorie des ordres partiels ? Ambigraphe, le 7 juillet 2010 à 09:54 (CEST)

Il y en a une, bien expliquée, ici [1] en bas de la page. C'est présenté comme un choix éditorial, malheureux à mon avis. La NPOV devrait nous imposer de citer les deux possibilités (ordre partiel = pas total et ordre partiel = ordre tout court). Mais l'usage de l'adjectif partiel pour le cas général me paraît grammaticalement assez maladroit et sujet à confusion. À vue de nez, les anglophones semblent avoir clairement choisi partially ordered = ordonné tout court [2]. J'ai l'impression que ordre partiel = ordre tout court (et poset) est une traduction pas très "française" de l'anglais, mais ça m'étonnerait qu'on arrive à sourcer cette impression. Qu'en dit Bourbaki ? ---- El Caro ^bla 7 juillet 2010 à 10:11 (CEST)

Pour moi, un ordre partiel est la même chose qu'une relation d'ordre, mais j'ai effectivement trouvé des sites pour lesquels un ordre partiel est un ordre non-total. Peut-être s'agit-il effectivement d'une mauvaise traduction de ma part. Ceci, si on en revient à l'article poset, il s'agit bien de la définition « anglaise » d'ordre partiel. Même si certains résultats sur les ordres partiels = relation d'ordre ne sont pas intéressants sur les ordres totaux (exemple : lemme de Zorn), ils n'en sont pas moins vrais. À mon avis (qui bien sûr n'est qu'un avis), les aspects combinatoires d'une relation d'ordre ne méritent pas plus qu'un section au sein de l'article relation d'ordre. Ceci-dit, il faudrait tout de même indiquer les deux définitions d'ordre partiel dans l'article. π¼ ✐, le 8 juillet 2010 à 11:30 (CEST) PS : c'est moi qui ai rajouté les bandeaux sur les articles, mais à mon avis il n'est pas inopportun de modifier les articles si ça fait avancer la discussion.

Je suggère alors à Piquart (π¼) de retirer les bandeaux de fusion et de travailler à l'amélioration de « Relation d'ordre ». En attendant, en l'absence de référence imprimée contredisant l'Universalis, je pense qu'il vaut mieux s'en tenir à l'interprétation (contraire à mes souvenirs) selon laquelle un ordre partiel est un ordre qui n'est pas total.

Si après enrichissement de l'article « Relation d'ordre » par Piquart, il apparait que l'article « Poset » n'apporte rien, il sera toujours temps de fusionner à ce moment-là. Ambigraphe, le 8 juillet 2010 à 13:25 (CEST)

Je viens de modifier Relation d'ordre pour y intégrer les informations contenues dans l'article Poset, à savoir les exemples qui y sont donnés, la partie sur les plus grand élement et éléments maximaux, et les liens avec les complexes simpliciaux. J'ai également essayé d'améliorer la structure logique de l'article. Il me semble qu'en l'état, l'article Poset n'apporte pas d'élements justifiant un article à part, mais la discussion reste ouverte. π¼ ✐, le 9 juillet 2010 à 15:14 (CEST)

Plutôt Pour - les ordres partiels intéressants (treillis, Zorn, ....) ont leur article, d'autre part Relation d'ordre , étant un article fondamental du point de vue des structures, doit être développé sous tous ses aspects, on peut donc y englober ce qui relève de l'ordre non total et ne demande pas un article spécial. Michel421 _{parfaitement agnostique} 11 juillet 2010 à 17:00 (CEST)

Bonjour. Alors, où en êtes-vous de cette proposition de fusion? J'aimerai retirer cette demande de PàF. Ou alors, il vous faut faire la fusion, le cas échéant. Pour les articles de mathématique, je ne me sens pas de la faire moi-même. Merci. Jerome66 4 août 2010 à 11:37 (CEST)

Je suis toujours Pour, mais j'attendais d'avoir des retours sur mes modifications avant de faire la fusion. Y a-t-il encore des personnes qui sont résolument opposées à la fusion ? π¼ ✐, le 4 août 2010 à 12:45 (CEST)

Pour aussi (mollement) Anne Bauval (d) 24 août 2010 à 15:09 (CEST)

Bon, j'ôte les bandeaux de fusion et je recopie cette discussion sur les pdd idoines. Lorsque la fusion sera effectuée, il suffira de me mettre un message, je m'occuperai des historiques. Jerome66 10 septembre 2010 à 10:26 (CEST)

Erreur dans les exemples (section 1.3)

Dans la section 1.3, on donne comme exemple de relation d'ordre, la relation de divisibilité en disant que c'est une relation d'ordre partiel sur les entiers naturels. Or je pense qu'il faut restreindre aux entiers naturels non nuls. En effet, 0 ne divise pas 0 et la relation ne serait donc pas réflexive. Il faudrait du coup modifier aussi le diagramme de Hasse pour faire disparaître l'élément 0.--Boupboupfleur (discuter) 16 juin 2014 à 18:19 (CEST)

Mais non, pas d'erreur. Si a et b sont deux entiers, on dit que a divise b s'il existe un entier k tel que b = ak. 0 divise bien 0 car il existe plein d'entiers k tels que 0 = 0 × k. HB (discuter) 16 juin 2014 à 19:00 (CEST)

Ok, au temps pour moi, je pensais que a divise b s'il existe un entier k tel que b/a = k, d'où le problème avec 0.--Boupboupfleur (discuter) 17 juin 2014 à 14:54 (CEST)

Morphisme ?

Pour moi un morphisme d'ordre c'est croissante et de réciproque croissante (ou bien on donne une équivalence, cas général d'une structure avec relation). La croissance stricte suffit pour les ordres totaux. Pas le temps de vérifier maintenant, mais ça m'étonne beaucoup que quelqu'un appelle morphisme une application croissante, ça n'a pas les bonnes propriétés. Proz (discuter) 8 mars 2016 à 09:31

C'est moi qui avais ajouté ça ici. Je viens de sourcer là-bas. Anne, 8/3/16

Je crois, Proz, que tu penses au codage [3] (ou order embedding): f est un codage si , pour tout couple (x,y), x R y <=> f(x) R' f(y).

Il semble que la distinction entre implication et équivalence soit mal perçue chez certains auteurs :

1. ici l'équivalence est requise pour le morphisme. Ce qui fait qu'un morphisme bijectif est bien un isomorphisme
2. là l'implication suffit mais alors il me semble que la définition énoncée «un isomophisme d'ensemble ordonné est un morphisme bijectif» soit fausse : prendre l'ensemble E={a, b, c} avec la relation d'ordre R définie par a R c et b R c, et la relation R' définie par a R' b R' c, l'identité de (E, R) dans (E, R') est un morphisme bijectif mais je n'appellerais pas ça un isomorphisme
3. Certains auteurs, comme ici font bien la nuance entre morphisme bijectif et isomorphisme.

HB (discuter) 8 mars 2016 à 14:10

À part la fantaisie (1.) et l'erreur (2.) que tu signales, les sources pour la définition d'un morphisme d'ordres semblent unanimes : cf. Morphisme#Références + [4] [5] [6] [7] [8] , etc. Anne, 16h

J'ai rédigé trop vite ce matin, et c'était inexact faux. En fait j'ai l'habitude de définir uniquement les isomorphismes d'ordre, pour lesquels l'équivalence est requise (là il n'y a aucun doute). Ca permet d'ailleurs de parler aussi de plongement et je vois que sur en: les plongements sont décrits directement. Je viens de feuilleter trois livres (en anglais, Introduction to Lattices and Order Davey Priestley 2005 Cambridge, Lattices and Ordered Sets Steven Roman 2008 Springer, Ordered Sets Harzheim 2005 Springer) centrés sur la théorie des ordres et aucun n'appele morphisme une application croissante (order preserving, increasing, monotone ...), ... ni ne définit morphisme pour un ordre en général. Des deux références données par Anne, la première n'est pas convainquante car elle parle de la catégorie des ordres, et il me semble que dans ce cas elle parle de morphisme juste pour indiquer que ce sont les "flèches" de la catégorie (avec un sens très général). La seconde "plus détaillée" semble parler des ensembles totalement ordonnés (je n'ai pas la définition de "ordered set"), rmq : si l'ordre est total, une bijection croissante est alors de réciproque croissante . Il semble que ça se dise un peu quand même d'après cette référence et la dernière de HB (je ne compte pas la seconde de HB qui est fausse de toute façon, et l'intérêt en MPSI ?!). Ca me paraitraît plus prudent de définir uniquement la notion d'isomorphisme d'ordre, ou éventuellement de plongement comme sur en:, car manifestement c'est ça qui est utile, et qu'il y a ce petit "piège", connu si on manipule ces choses, que met en évidence l'exemple de HB. De plus c'est bien ce que font les référence spécialisées que j'ai consultées. On peut par ailleurs mentionner ensuite la catégorie des ensembles ordonnés avec les applications croissantes comme "flèches" ou "morphismes",et/ou dire que les applications croissantes sont parfois appelées morphismes. Proz (discuter) 8 mars 2016 à 16:21 (CET)

Je confirme que l'une des références donnée par Anne, Roman que j'ai au complet, ne parle jamais explictement de morphisme (c'est uniquement dans un contexte "théorie des catégories" que ça apparaît, et le mot n'est même pas utilisé par Roman). Toutes ces références parlent de catégorie. Proz (discuter) 8 mars 2016 à 16:25

Bien sûr ! la notion même de flèche morphisme (et celle d'isomorphisme, qui en résulte), d'ordre ou autre, est catégorique. Je ne vois pas dans quel but gommer (ou mentionner seulement ensuite, et en ajoutant l'inutile mot « flèche ») cette définition standard, surtout si tu ne la connaissais pas : tu n'es sûrement pas le seul. Aucun des 3 bouquins en anglais que tu as feuilletés ne définit morphisme pour un ordre en général, et alors ? plein d'autres le font !

La deuxième ref (effectivement "plus détaillée") placée dans Morphisme (Auslander-Buchsbaum p. 85-86), ne parle bien sûr pas des ensembles totalement ordonnés — cf. e) p. 86 — et « ordered sets » signifie bien « ensembles ordonnés ». Anne, 18h56

Je ne propose pas de cacher, juste de contextualiser, cf. intervention précédente, et sinon, de hiérarchiser en utilisant des sources centrées, "flèche" c'était une mauvaise idée. Sinon c'est un point de vocabulaire pas de définition (qui est celle de fonction croissante) Proz (discuter) 8 mars 2016 à 20:28 (CET) PS. Par "en général" j'entend que "homomorphism" est utilisé pour les treillis par exemple (avec la définition algébrique), mais "order preserving" pour les ordres en général. C'est vraiment un point de choix de vocabulaire.

Je tombe, dans des bouquins (même en français mais rarement) sur isotone et antitone (comme synonymes de croissante et décroissante). Faut-il le signaler ? Anne, 21h40

Oui (c'est le vocabulaire du bouquin sur les ordres finis en biblio). Proz (discuter) 8 mars 2016 à 21:43 (CET)

Sur le cercle

Anne, tu as changé cette version de contrexemple

• On ne peut définir de façon satisfaisante une relation d'ordre sur le cercle qui signifierait « est placé avant ». Par exemple^{[réf. nécessaire]}, sur l'ensemble des points du cercle trigonométrique (de centre O), la relation entre deux points M et N définie par « la mesure principale de l'angle ([OM),[ON)) est positive ou nulle » n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas transitive.

par celle ci

• On ne peut définir de façon satisfaisante une relation d'ordre sur le cercle qui signifierait « est placé avant ». Par exemple^{[réf. nécessaire]}, sur le cercle unité, pour l'ordre total défini, entre deux complexes u et v de module 1, par « la détermination principale (appartenant à ]–π, π]) de l'argument de u est inférieure à celle de l'argument de v  », le point d'affixe –1 serait considéré comme « placé après » tous les autres points du cercle.

Mais j'ai l'impression que les deux versions ne parlent aps de la même chose.

• La première version parle du fait que la relation « est placé avant » définie par  : M(z) «est placé avant» N(z') si et seulement la détermination principale de l'argument de z'/z est positif n'est pas une relation d'ordre. Elle est bien réflexive mais non transitive M(1) est placé avant N(j) placé avant P( j ) placé avant M(1).
• ta version parle d'une relation qui, elle, est bien une relation d'ordre total dans laquelle M(-1) est le plus grand élément.

Je ne sais pas si ce contrexemple dans sa forme 1 ou sa forme 2 mérite d'être gardé. HB (discuter) 25 mars 2016 à 21:56

Oui, j'ai « amélioré » l'exemple (dont on ne sait pas exactement de quoi il est un contre-exemple) pour signifier mon désaccord avec l'arbitraire de son caractère « mauvais ». Je n'osais pas le virer brutalement, mais c'était mon désir. Anne 22h30

Virons donc les 3 derniers exemples. Rares sont en fait les sources qui donnent des contre-exemples. Je viens de découvrir de vieux documents (1962) destinés à la formation des PEGC au moment de l'introduction des mathématiques modernes : ils insistent davantage sur la nécessité de ne pas avoir d'ex-aequo (antisymétrie) et cite à ce sujet que la relation «a une aire inférieure ou égale» sur l'ensemble des cercles est bien transitive et reflexive mais n'est pas antisymétrique - sauf si on se réduit à des cercles de même centre. J'ai trouvé également dans un livre d'exercice de Rivaud, un exemple de relation qui semble d'ordre et qui ne l'est pas car elle n'est pas transitive : sur R², (x,y) R (x',y') si (a) x=x' et y≤y' ou (b) x≤x' et y=y'. Avec le cas de la relation d'«ordre strict», le cas de la divisibilité sur Z, nous aurions quatre contre-exemples sourçables. HB (discuter) 26 mars 2016 à 08:55

D'accord + pour le cercle, faudrait creuser :

• pas lu (Roland Fraïssé)
• un ordre cyclique est une relation ternaire
  • [9] cyclique (R(x, y, z) ⇒ R(y, z, x)), antiréflexive (¬R(x, x, y)) et transitive (R(x, y, z) et R(z, t, x) ⇒ R(y, z, t)), ou alors (équivalent) :
  • [10] cyclique, asymétrique (R(x, y, z) ⇒ ¬R(z, y, x)) et transitive (R(x, y, z) et R(x, z, u) ⇒ R(x, y, u), déf. de transitive équivalente, pour une relation cyclique, à la précédente)
• un ordre cyclique total (en) (= complet ?) est…

Mais tout ça n'est pas à mettre dans nos exemples. Peut-être dans un nouvel article ?

Anne, 26/3/16, 10h16

Bravo pour la fouille. J'ignorais complètement cette notion. Oui un (ou deux?) nouveau(x) article(s) s'impose(nt). HB (discuter) 26 mars 2016 à 11:45

J'ai créé une ébauche d'Ordre cyclique mais je te laisse œuvrer sur ta proposition ci-dessus (du 26 mars à 8 h 55) : « Virons donc les 3 derniers exemples… » puisque c'est toi qui as des refs d'autres contre-exemples. Anne, 7/4/16

Fait. mais je n'ai pas osé mettre une référence pour le contre-exemple de Rivaud (J. Rivaud, Algèbre, Classes préparatoires et université, Exercices avec solutions, Tome 1, Vuibert, 1978, p.47) car en la reprenant, je me suis rendu compte que j'avais largement brodé sur la source : l'exercice était de démontrer que la relation R : «(x,y) R (x',y') si (a) y < y' ou (b) x < x'» n'était pas transitive. C'est moi qui l'ai modifiée pour qu'elle soit réflexive et antisymétrique .

D'autre part Je ne suis pas très satisfaite de la progressivité des exemples ou contrexemple sans trouver de solution satisfaisante.

• Ainsi, je trouve que le produit sur une famille indexée par un bon ordre est d'un niveau nettement supérieur à l'exemple de la divisibilté sur Z ou la notion d'aire au plus égale, mais je trouve qu'il faut parler assez tôt de l'ordre lexicographique (ou ordre du dictionnaire). Ce qui peut paraitre contradictoire.
• de même je trouve que la relation d'inclusion sur l'ensemble des parties d'un ensemble a légitimité à figurer tôt alors que le cas particulier de E = U × V et la notion de finesse est tout de suite d'un niveau théorique différent.
• les deux contre-exmple présentés pour la non asymétrie («divise» et «a une aire au plus égale» ne sont que des cas particulier de préordre comme je le signale. mais ce faisant, cela fait doublon avec la section préordre.

Dernier point: ne faudrait-il pas glisser que tout ordre cyclique, si on choisit un point, permet de définir une relation d'ordre x R_z y si et seulement si R(z , x, y) ou (x = y) ?

HB (discuter) 8 avril 2016 à 15:38 (CEST)

Anne, 9/4/16