Discussion:Nombre de Fermat

Sans titre

J'aurais plutôt mis ça sous un titre "nombre de Fermat", dans laquelle on aurait pu discuter de ceux qui sont premiers... Snark 1 mai 2003 à 14:21 (CEST)

Peut-être mais ce sont ceux qui sont premiers qui donnent de l'importance aux autres, il me semble... enfin... et n'y a-t-il pas d'autres "nombres de Fermat" quelque part ? FvdP 11 jun 2003 ・00:42 (CEST)

Fermat numbers in hexadecimal representation

Sorry for using english. Please include these tables in the article. The hexadecimal table could seem redundant, but hexadecimal is the most appropriate representation for Fermat numbers, and the first table is only necessary for people wo cant read them ; ) Greetings...

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65.537
F5	=	232	+	1	=	4.294.967.297
					=	641 × 6.700.417
F6	=	264	+	1	=	18.446.744.073.709.551.617
					=	274.177 × 67.280.421.310.721
F7	=	2128	+	1	=	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
					=	59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
F8	=	2256	+	1	=	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
					=	1238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321

The same in hexadecimal numbers:

F0	=	2 1	+	1	=	3 = p(2)
F1	=	2 2	+	1	=	5 = p(3)
F2	=	2 4	+	1	=	11 = p(7)
F3	=	2 8	+	1	=	101 = p(37hex) = p(55dec)
F4	=	210	+	1	=	1.0001 = p(198Fhex) = p(6543dec)
F5	=	220	+	1	=	1.0000.0001
F6	=	240	+	1	=	1.0000.0000.0000.0001
F7	=	280	+	1	=	1.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0001
F8	=	2100	+	1	=	1.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0001

--87.123.69.50 11 octobre 2007 à 15:44 (CEST)

Avant de parler des hexas, il me semblerait plus utile de commencer par les binaires; je découvre ces nombres, mais, leur forme binaire me semble bien plus remarquable, et triviale: 3=11 b, 5=101 b, 17=10001 b, 257=100000001 b. Et j'ai aussi l'impression (sans aucune preuve) qu'ils sont générables de manière systématique par un algorythme, ou une expression régulière, en additionnant des chaines de texte pour construire le nombre en binaire, deux "1" séparés par (2^n)-1 "0", n croissant à partir de 0. Le perl est probablement le langage idéal pour cette construction. Et j'imagine qu'une expression régulière assez simple doit permettre de vérifier si un nombre (écrit en binaire) est un nombre de Fermat (deux "1" séparés par 2^n-1 "0"). Et si j'ai juste, alors, le tableau présentant les choses en hexa n'est alors qu'une réduction, économisant seulement de la place à l'écran, et ayant deux exceptions au début. C'est peut être même généralisable pour d'autres bases ? visiblement, pas 8; peut être 256 (à partir d'un certain point, comme pour 16) ? des bases de la forme 2^(2n) ? Ceci me semble évident en lisant la suite des nombres de Fermat, et je pense que l'article est incomplet; je découvre ceci pour la première fois, et je n'ai pas autorité pour modifier l'article. Il faudrait aussi ajouter cette voie de recherche dans l'article anglais Doublehp (d) 12 septembre 2009 à 15:49 (CEST)

Ajouts possibles

Bonjour, je suis lycéen en terminale et ayant ce matin etudié quelques propriétés des nombres de fermat je vous apporte quelques info. Si qqun est tenté de rajoutté tout ca a l'article il en a tout les droits ;) alors voila:

1) F(n+1)= [F(n)-1]^2+1 En effet on a 2^[2^(n+1)]+1 = 2^[(2^n)*2]+1 = [2^(2^n)+1-1]^2 = [F(n)-1]^2+1

2) L'écriture décimale de F(n) se termine par 7 (n>1) pour demontrer ca on utilise une demonstration par récurrence simple mais un peu longue a taper (la flemme me ronge :) )

3) L'ecriture décimale de F(n) se termine par 17 si n=4p+2

37 si n=4p

57 si n=4p+3

97 si n=4p+1

Pareil ici il s'agit d'une demonstration par recurrence qui utilise la propriété 1)

4) Deux nombres de fermats sont premiers entre eux.

La demonstration donnée par mon prof considère deux nombres de fermat F(n) et F(n+k) et on démontre que leur seul diviseur commun est 1

5) Il s'agit ici d'une autre manière de démontrer qu'il existe une infinité de nombre premier: D'apres 4) si p(n) et p(n+k) sont deux diviseurs premiers respectivement de F(n) et F(n+k), on a p(n) =! p(n+k) Donc chaque nouveau nombre de fermat apporte des facteurs premiers qui n'ont pas été rencontrés auparavant. Donc la suite des nombres premiers est illimité. (note: =! représente le egal barré pour dire "différent")

6) La suite des nombres de fermat tend vers +oo et est croissante

Voila pour moi, et pardon de ne pas utilisé la notation math j'ai pas réussi.

Arwel. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 90.36.183.147 (discuter), le 12/12/2007.

1) et 4) étaient déjà présents dans la version de décembre 2007.

6) ne mérite pas d'être mentionné à mon avis : trop trivial ; tout au plus un lien interne vers Puissance de 2.

5) non plus : trop anecdotique ; figure dans ce lien externe en bas de la page Théorème d'Euclide

Pour 2) et 3) pas besoin de récurrence (par exemple pour 2), il suffit de remarquer que modulo 10, 2^{4m} ≡ 6^m ≡ 6 si m > 0) ; à mentionner éventuellement (car ça saute aux yeux) mais avec une source témoignant que malgré son inutilité, cette remarque a mérité d'être publiée.

Anne, 13/8/16, 23 h 20 (modifié à 23 h 26)

Relu qq détails

• Une citation était erronée, comme l'a remarqué RRt (d · c · b) ; j'ai complété sa rectif. Ce texte faux provenait probablement de ce site qui, transcrivant Récréations mathématiques d'Édouard Lucas 2e éd., 1891, (tome ?) p. 234 qui lui-même transcrit la lettre de Noël 1640, écrit : « 3, 5, 7, 17, 257, 65 537, ..., ». Ce serait intéressant si c'était Lucas (et pas l'auteur du site) qui avait commis l'erreur de transcription, mais je n'ai pas les moyens de vérifier. C'est Lucas qui s'est trompé, je viens de le « dénoncer » en note Anne Bauval (d) 17 août 2011 à 20:52 (CEST)
• J'ai enlevé les dates de naissance et mort qui alourdissaient le texte : il reste bien assez de dates pour se repérer, et le curieux peut cliquer sur les noms des protagonistes.
• J'ai mis un modèle:refins (j'aurais pu ajouter modèle:pas clair) sur une phrase confuse que la source (si ma réparation de lien mort est correcte) ne semble pas éclaircir ni confirmer.

Anne 4 avril 2011

• Mon {{refins}}, bien qu'effacé en avril 2014, est aujourd'hui résolu : j'ai remplacé le lien MacTutor (vers Mersenne) qui ne sourçait aucunement cette phrase par le bon (vers Perfect numbers)… enfin, le « presque » bon (23 apparaît bien dans la lettre XL à Mersenne mais seulement comme diviseur de M₁₁ ; j'ai ajouté une autre lettre, à Frénicle, pour M₂₃).
• J'ai effacé l'évasif « et probablement démontre » dans la phrase « dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy, Pierre de Fermat énonce son petit théorème » car — comme toujours à une exception (confuse) près — on n'a aucune trace d'une « probable démonstration par Fermat » (ni dans cette lettre, ni ailleurs) et c'est expliqué plus clairement dans Petit théorème de Fermat#Histoire.

Anne 12/1/15

Les nombres de Fermat à partir de F2 se terminent tous par un 7 en base 10

Bonjour, je ne sais pas s'il est pertinent de rajouter cette "information" mais tous les nombres de Fermat pour n supérieur ou égal à 2 se termine par un 7 en base 10.

On peut le démontrer facilement par récurrence et en utilisant la formule par Arwel ci-dessus : Fn+1 = (Fn -1)² + 1

Initialisation vraie pour n=2 car F2= 17

On suppose que Fn = 7 [10] et on veut le prouver pour n+1

Hérédité  : Fn= 7 [10] (d'après l'hypothèse de récurrence) Fn - 1 = 6 [10] = -4 [10]

(Fn - 1)² = (-4)² = 16 = 6 [10]

(Fn - 1)² + 1 = 7 [10]

Fn+1 = 7 [10]

Conclusion : tous les nombres de Fermat pour n supérieur ou égal à 2 se terminent par un 7 en base 10.

Je ne sais pas si c'est utile ou pertinent.

Athanatophobos 13 août 2016 20:08 (cest)

Bof (voir supra) Anne, 23 h 23

Démo de "Tout facteur premier d'un nombre de Fermat... "

Bonjour,
J'ai l'impression que la démo exposée permet uniquement de dire que l'ordre de 2 divise 2^{n+1}...
Il existe une vraie démo qui utilise le polynôme cyclotomique \phi_{2^{n+1}}(X) = \phi_2(X^{2^n}) = X^{2^n} + 1 :
https://perso.univ-rennes1.fr/romain.basson/pdf/Cyclotomie.pdf

--Fabrej0 (discuter) 24 décembre 2017 à 20:16 (CET)

Si l´ordre était plus petit (strictement) que 2^{n+1}, il serait plus petit ou égal à 2^n, mais 2^(2^n) est congru à -1...--Dfeldmann (discuter) 24 décembre 2017 à 21:39 (CET)

Démonstration illisible

Je ne sais pas si c'est le cas partout, mais sur mon ordinateur, les formules de type <math>...</math> qui chevauchent le cadre de la démonstration masquée ne déclenchent pas de saut de ligne, comme elles le devraient, et deviennent donc illisibles. Quelqu'un d'autre a-t-il aussi constaté ce problème, et que peut-on y faire? --Gaétan (discuter) 6 novembre 2018 à 16:26 (HNE)

Bonsoir Anne Bauval, Ariel Provost et Dfeldmann Devant le silence radio qui a accueilli la question ci-haut, je me permets de la répéter à des contributeurs que je crois capables d’y répondre. Amicalement, --Gaétan (discuter) 16 novembre 2018 à 20:58 (HNE)

Bonjour Gaétan Lui Même, Anne Bauval et Dfeldmann Je n'avais pas ce problème sur mon ordi (Windows 10, Firefox), mais je me suis dit que le problème pouvait venir du centrage des équations (balises <center> et </center>), que j'ai supprimé (et remplacé par de simples retours à la ligne par <br />). Est-ce que ça va mieux ? — Ariel (discuter) 17 novembre 2018 à 08:30 (CET)

P.S. Le centrage n'était pas utile, un retrait aurait été préférable mais : (1) le modèle {{Retrait}} ne m'a pas semblé marcher, (2) le retrait par saut de ligne puis « : » en tête de ligne (ou « *: » si l'on est dans une liste à puces) marche mais je ne sais pas comment annuler le retrait pour les lignes suivantes quand on est dans une liste à puces.

Grand Merci Ariel Provost Bel effort! Mais sur mon Mac avec Safari, la démonstration est toujours illisible! Continuons le combat! Amicalement, --Gaétan (discuter) 18 novembre 2018 à 19:36 (HNE)

Section 2.3 Factorisation des nombres de Fermat composés

Le dernier mot de cette section ("premier") me paraît superflu: je doute qu’on puisse connaître un diviseur de ces grands nombres sans en connaître au moins un facteur premier. -- GLM (On en parle?) 11 juin 2020 à 14:10 (HAE)

Ben le problème, c’est que 1 et N sont des diviseurs de N, alors si on veut éviter ces cas triviaux, autant rajouter « premier »...—Dfeldmann (discuter) 11 juin 2020 à 21:38 (CEST)

Ecriture des nombres de Fermat en numération primorielle

je renvoie à numération primorielle ( exemple n°9). Cordialement, --Stefan jaouen (discuter) 21 avril 2021 à 22:35 (CEST)